Упражнение 623 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(ax^2 + bx+c=0\)

Пусть \(a=n\), \(b=3n\), \(c=2n\)

\(nx^{2}+3nx+2n=0\)

\(D=b^{2}-4ac=(3n)^{2}-4\cdot n\cdot 2n=\)

\(=9n^{2}-8n^{2}=n^{2},\)    \(\sqrt D = n\)

\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\)

\(x_1=\dfrac{-3n+ n}{2n}=\dfrac{-2n}{2n}=-1\)

\(x_{2}=\dfrac{-3n- n}{2n}=\dfrac{-4n}{2n}=-2.\)

\(nx^{2}+3nx+2n=n(x+1)(x+2)\).

Пояснения:

Если квадратный трехчлен

\(ax^2 + bx+c\) имеет корни, то его можно разложить на множители

\(ax^2 + bx+c=a(x - x_1)(x-x_2)\),

где  \(x_1\) и \(x_2\) - корни квадратного трёхчлена.

Чтобы квадратный трёхчлен

\(ax^{2}+bx+c\) имел корни, нужно

\(D=b^{2}-4ac\ge0\).

Среди чисел \(n,2n,3n\) наибольшее — \(3n\). Если поставить \(b=3n\), а \(a\) и \(c\) взять равными \(n\) и \(2n\) (в любом порядке), то

\( D=(3n)^{2}-4\cdot(n)\cdot(2n)=\)

\(=9n^{2}-8n^{2}=n^{2}\ge0, \)

следовательно, такие трёхчлены имеют корни и их можно разложить на множители.

Составим уравнение:

\(\dfrac{240}{x-5}=\dfrac{240}{x}+4\)   \(/\times x(x-5)\)

ОДЗ: \(x \neq0\)  и  \( x - 5 \neq0\)

                          \(x \neq 5\)

\(240x =240(x-5) + 4x(x-5)\)

\(240x = 240x - 1200 + 4x^2 - 20x\)

\(\cancel{240x} - 1200 + 4x^2 - 20x - \cancel{240x} = 0\)

\(4x^2 -20x-1200 = 0\)    \(/ : 4\)

\( x^{2}-5x-300=0 \)

\(a = 1\),  \(b = -5\),  \(c = -300\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-5)^2-4\cdot1\cdot(-300)=\)

\(=25+1200=1225\),    \(\sqrt D = 35\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( x_1 = \frac{-(-5)+35}{2\cdot1}=\frac{40}{2}=20\).

\( x_2 = \frac{-(-5)-35}{2\cdot1}=\frac{30}{2}=-15\) - не удовлетворяет условию (\(x>0\)).

Ответ: билет лотереи «Надежда» стоил \(20\) рублей.

Пояснения:

За одну и ту же сумму 240 р. покупают \(\dfrac{240}{\text{цена}}\) билетов.

По условию билеты «Удача» дешевле на 5 р., поэтому их могло быть на 4 штуки больше, то есть можем составить следующее дробное рациональное уравнение:

\(\dfrac{240}{x-5}=\dfrac{240}{x}+4\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили полное квадратное уравнение

\( x^{2}-5x-300=0 \), у которого дискриминант больше нуля, следовательно, имеем два корня уравнения:

\(x_1 = 20\) и \(x_2 = -15\).

Отрицательный корень не подходит, так как стоимость не может быть отрицательным числом.

Значит, билет лотереи «Надежда» стоил \(20\) рублей.