Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№621 учебника 2023-2025 (стр. 144):
Можно ли представить квадратный трёхчлен в виде произведения многочленов первой степени:
а) \(-3y^{2}+3y+11\);
б) \(4b^{2}-9b+7\);
в) \(x^{2}-7x+11\);
г) \(3y^{2}-12y+12\)?
№621 учебника 2013-2022 (стр. 146):
Чтобы ликвидировать опоздание на \(1\) ч, поезд на перегоне в \(720\) км увеличил скорость, с которой шёл по расписанию, на \(10\) км/ч. Какова скорость поезда по расписанию?
№621 учебника 2023-2025 (стр. 144):
Вспомните:
№621 учебника 2013-2022 (стр. 146):
Вспомните.
№621 учебника 2023-2025 (стр. 144):
а) \(-3y^{2}+3y+11=0\) \(/\times(-1)\)
\(3y^{2}-3y-11=0\)
\(a=3,\;b=-3,\;c=-11\).
\(D=b^{2}-4ac=\)
\(=(-3)^2-4\cdot3\cdot(-11)=\)
\(=9+132=141>0\) - два корня.
Ответ: квадратный трёхчлен можно представить в виде произведения многочленов первой степени.
б) \(4b^{2}-9b+7=0\)
\(a=4,\;b=-9,\;c=7\).
\(D=b^2-4ac=(-9)^{2}-4\cdot4\cdot7=\)
\(=81-112=-31<0\) - нет корней.
Ответ: квадратный трёхчлен нельзя представить в виде произведения многочленов первой степени.
в) \(x^{2}-7x+11=0\)
\(a=1,\;b=-7,\;c=11\).
\(D=b^2-4ac=(-7)^{2}-4\cdot1\cdot11=\)
\(=49-44=5>0\) - два корня.
Ответ: квадратный трёхчлен можно представить в виде произведения многочленов первой степени.
г) \(3y^{2}-12y+12=0\)
\(a=3,\;b=-12,\;c=12\).
\(D=b^2-4ac=\)
\(=(-12)^{2}-4\cdot3\cdot12=\)
\(=144-144=0\) - один корень.
Ответ: квадратный трёхчлен можно представить в виде произведения многочленов первой степени.
Пояснения:
Правило:
квадратный трёхчлен \(ax^{2}+bx+c\) представим в виде произведения двух многочленов первой степени тогда и только тогда, когда его дискриминант \(D=b^{2}-4ac\ge0\). При \(D>0\) имеем два различных линейных множителя, при \(D=0\) — квадрат одного линейного множителя, при \(D<0\) разложения на линейные множители нет.
№621 учебника 2013-2022 (стр. 146):
| Расстояние, км | Скорость, км/ч | Время, ч | |
| По расписанию | \(720\) | \(x\) | \(\frac{720}{x}\) |
| После увеличения | \(x + 10\) | \(\frac{720}{x+10}\) |
Составим уравнение:
\(\displaystyle \frac{720}{x}-\frac{720}{x+10}=1\) \(/\times x(x+10)\)
ОДЗ: \(x \neq0\) и \( x + 10 \neq0\)
\(x \neq -10\)
\(720(x + 10) - 720x = x(x+10)\)
\(\cancel{720x} + 7200 - \cancel{720x} = x^2 +10x\)
\(x^2+10x-7200=0\)
\(a = 1\), \(b = 10\), \(c = -7200\)
\(D = b^2 - 4ac =\)
\(=10^2-4\cdot1\cdot(-7200)=\)
\(=100 + 28 800=28900\),
\(\sqrt D = 170\).
\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).
\( x_1 = \frac{-10+170}{2\cdot1}=\frac{160}{2}=80\).
\( x_2 = \frac{-10-170}{2\cdot1}=\frac{-180}{2}=-90\) - не удовлетворяет условию (\(x>0\)).
Ответ: скорость поезда по расписанию равна \(80\) км/ч.
Пояснения:
Время в пути: \(\,t=\dfrac{S}{v}\).
Время на перегоне: \(\displaystyle t_1=\frac{720}{x}\) (по расписанию) и \(\displaystyle t_2=\frac{720}{x+10}\) (с увеличенной скоростью). Требование «ликвидировать опоздание на \(1\) ч» означает \(\,t_1-t_2=1\), откуда получено дробное рациональное уравнение:
\(\displaystyle \frac{720}{x}-\frac{720}{x+10}=1\)
Алгоритм решения дробного рационального уравнений:
1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;
2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
4) решить получившееся целое уравнение;
5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.
После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили полное квадратное уравнение
\(x^2+10x-7200=0\), у которого дискриминант больше нуля, следовательно, имеем два корня уравнения:
\(x_1 = 80\) и \(x_2 = -90\).
Отрицательный корень не подходит, так как скорость не может быть отрицательным числом.
Значит, скорость поезда по расписанию равна \(80\) км/ч.
Вернуться к содержанию учебника