Упражнение 620 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(10x^{2}+19x-2=10(x-0{,}1)(x+2)\)

\(10x^{2}+19x-2=0\)

\(a = 10\),  \(b = 19\),  \(c = -2\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=19^{2}-4\cdot10\cdot(-2)=\)

\(=361+80=441,\)    \( \sqrt D=21. \)

\(x_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\( x_{1}=\frac{-19+21}{2\cdot10}=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}=0{,}1\),

\(x_{2}=\frac{-19-21}{2\cdot10}=\frac{-40}{20}=-2\).

\( 10x^{2}+19x-2=10(x-0{,}1)(x+2). \)

Тождество доказано.

б) \(0{,}5(x-6)(x-5)=0{,}5x^{2}-5{,}5x+15\)

\(0{,}5x^{2}-5{,}5x+15 = 0\)   \(/\times(2)\)

\(x^{2}-11x+30 = 0\) 

\(a = 1\),  \(b = -11\),  \(c = 30\)

\( D=b^2-4ac=\)

\(=(-11)^{2}-4\cdot1\cdot30=\)

\(=121-120=1\)   \( \sqrt D=1\).

\(x_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\( x_{1,2}=\frac{-(-11)+1}{2\cdot1}=\frac{12}{2}=6\),

\(x_{2}=\frac{-(-11)-1}{2\cdot1}=\frac{10}{2}=5\).

\( 0{,}5x^{2}-5{,}5x+15=0{,}5(x-6)(x-5). \)

Тождество доказано.

Пояснения:

Чтобы доказать тождество, трехчлен, стоящий с левой или с правой стороны равенства, раскладываем на множители.

Использованные приемы:

1) Если квадратный трехчлен

\(ax^2 + bx+c\) имеет корни, то его можно разложить на множители

\(ax^2 + bx+c=a(x - x_1)(x-x_2)\),

где  \(x_1\) и \(x_2\) - корни квадратного трёхчлена.

2) Корни уравнения не изменяются, если обе его части разделить или умножить на одно и то же число.

3) При решении уравнений сначала находим дискриминант \(D = b^2 - 4ac\), чтобы определить количество корней. При \(D>0\) уравнение имеет два корня.

4) Корни квадратных уравнений находим по основным формулам корней:

\(x_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\).

Составим уравнение:

\(\frac{560}{x}-\frac{560}{x+10}=1\) \(/\times x(x+10)\)

ОДЗ: \(x \neq 0\)  и  \(x + 10 \neq 0\)

                          \(x \neq -10\)

\(560(x+10) -560x = x(x+10)\)

\(\cancel{560x} + 5600 - \cancel{560x} = x^2 +10x\)

\(x^2 + 10x -5600=0\)

\(a = 1\),  \(b = 10\),  \(c = -5600\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=10^{2}-4\cdot1\cdot(-5600)=\)

\(=100 + 22 400=22500\),

\(\sqrt D=150.\)

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( x_1 = \frac{-10+150}{2\cdot1}=\frac{140}{2}=70\).

\( x_1 = \frac{-10-150}{2\cdot1}=\frac{-160}{2}=-80\) - не удовлетворяет условию (\(x>0\)).

1) \(70\) (км/ч) - скорость второго автомобиля.

2) \(70 + 10 = 80\) (км\ч) - скорость первого автомобиля.

Ответ: \(80\) км/ч и \(70\) км/ч.

Пояснения:

Время в пути: \(\,t=\dfrac{S}{v}\). Для медленного и быстрого автомобилей соответственно: \[ t_{1}=\frac{560}{x},\qquad t_{2}=\frac{560}{x+10}. \] По условию \(t_{1}-t_{2}=1\), откуда получено дробное рациональное уравнение:

\(\frac{560}{x}-\frac{560}{x+10}=1\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили полное квадратное уравнение

\(x^2 + 10x -5600=0\), у которого дискриминант больше нуля, следовательно, имеем два корня уравнения:

\(x_1 = 70\) и \(x_2 = -80\).

Отрицательный корень не подходит, так как скорость не может быть отрицательным числом.

Значит, скорость второго автомобиля равна \(70\) км/ч. Скорость первого автомобиля на 10 км/ч больше, значит, она равна:

\(70+10=80\) (км/ч).