Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№613 учебника 2023-2025 (стр. 140):
(Задача-исследование.) Выясните, какой из прямоугольных треугольников с суммой катетов, равной 6 см, имеет наибольшую площадь. Вычислите эту площадь.
1) Обозначьте длину одного из катетов через \(x\) см и составьте выражение для вычисления площади треугольника.
2) Исследуйте, при каких значениях переменной составленное выражение принимает наибольшее значение.
3) Вычислите, чему равно значение площади треугольника при указанных значениях переменной.
№613 учебника 2013-2022 (стр. 144):
Найдите значение выражения
\(x^{2}-2xy+y^{2}\)
при \(x=3+\sqrt{5}\), \(y=3-\sqrt{5}\).
№613 учебника 2023-2025 (стр. 140):
Вспомните:
№613 учебника 2013-2022 (стр. 144):
Вспомните:
№613 учебника 2023-2025 (стр. 140):
Пусть первый катет равен \(x\) см, тогда второй катет - \((6-x)\) см. Площадь прямоугольного треугольника:
\(S=\frac12\cdot x\cdot(6-x)\)
\(=3x-\frac12x^{2} =-\frac12(x^2 - 6x)=\)
\(=-\frac12((x^2 - 2\cdot3\cdot x+3^2) - 3^2)=\)
\(=-\frac12((x-3)^2 - 9)=\)
\(=-\frac12(x-3)^2 + 4,5\).
Наибольшее значение площади будет при:
\((x - 3)^2 = 0\)
\(x - 3 = 0\)
\(x = 3\) (см) - первый катет.
Наибольшая площадь:
\(-\frac12\cdot0 + 4,5=0+4,5 = 4,5\) (см2).
Второй катет:
\(6 - 3 = 3 \) (см)
Ответ: наибольшее значение площади равно \(4,5\) см2 при катетах равных по 3 см каждый.
Пояснения:
Сумма катетов равна \(6\), значит, если первый катет равен \(x\) см, то второй катет будет равен \(6-x\) см. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
или, раскрыв скобки:
\(S=3x-\frac12x^{2} \).
Чтобы определить, при каком значении \(x\) площадь будет наибольшей, выделим квадрат двучлена из полученного выражения, учитывая то, что значение выражения не изменяется, если к нему прибавить и вычесть одно и то же число (выражение).
Сначала выносим за скобки множитель \(-\frac12\), затем в скобках прибавляя и вычитая \(3^2\), можем выделить квадрат разности:
\(S=-\frac12((x-3)^2 - 9)=\)
\(=-\frac12(x-3)^2 + 4,5\).
Учитывая отрицательный коэффициент перед скобками, полученное выражение будет наибольшим, если
\((x - 3)^2 = 0\), то есть
\(x - 3 = 0\), откуда \(x = 3\).
Значит, площадь будет наибольшей, когда один из катетов равен 3 см, и ее значение:
\(-\frac12\cdot0 + 4,5=0+4,5 = 4,5\) (см2).
Сумма катетов по условию равна 6 см, один из катетов равен 3 см, значит, второй катет равен:
\(6 - 3 = 3 \) (см).
№613 учебника 2013-2022 (стр. 144):
\(x^{2}-2xy+y^{2}=(x-y)^{2}\)
Если \(x=3+\sqrt{5}\), \(y=3-\sqrt{5}\), то
\(((3+\sqrt{5})-(3-\sqrt{5}))^2=\)
\(=(\cancel3+\sqrt{5}-\cancel3+\sqrt{5})^2=\)
\(=(2\sqrt{5})^2=4\cdot5=20.\)
Пояснения:
Использована формула квадрата разности:
\( (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}. \)
Поэтому
\(x^{2}-2xy+y^{2}=(x-y)^{2}\).
Подставили данные числовые значения вместо \(x\) и \(y\) и выполнили вычисления.
Свойство степени:
\((ab)^n = a^nb^n\).
Свойство корня:
\((\sqrt a)^2 = a\).
Вернуться к содержанию учебника