Упражнение 733 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( bx+2x=3b+6 \)

\( x(b+2)=3b+6 \)

1 cлучай:

\(b+2\neq 0\), то есть \(b\neq-2\)

\( x=\frac{3b+6}{b+2} \)

\( x=\frac{3\cancel{(b+2)}}{\cancel{b+2}}\)

\(x=3 \)

2 случай:

\(b+2= 0\), то есть \(b=-2\).

\(0x=3\cdot(-2)+6 \)

\( 0x= -6+6\)

\(0x=0 \) - верно при любом \(x\).

Ответ: если \(b\neq -2\), то \(x=3\), если \(b=-2\), то \(x\) - любое число.

Пояснения:

В левой части уравнения

\( bx+2x=3b+6 \) вынесли множитель \(x\) за скобки:

\( x(b+2)=3b+6 \).

Мы имеем линейное уравнение, число корней которого зависит от того, отличен ли от нуля коэффициент при \(x\) или равен нулю.

Если \(b+2\neq 0\), то есть \(b\neq-2\), то уравнение имеет единственный корень

\( x=\frac{3b+6}{b+2} \).

В числителе вынесем множитель \(3\) за скобки:

\( x=\frac{3\cancel{(b+2)}}{\cancel{b+2}} \), откуда \(x = 3\).

Если \(b+2= 0\), то есть \(b=-2\), то уравнение принимает вид \(0x = 0\). В этом случае любое число является корнем уравнения.

Итак, мы нашли, что при \(b \neq -2\) уравнение имеет единственный корень \(3\), а при \(b =3\) любое число является корнем уравнения.

\( \frac{a+2}{a} - 2 \;\geq\; 2 - \frac{a+2}{2}\)

\( \left(\frac{a+2}{a} - 2\right) - \left(2 - \frac{a+2}{2}\right)=\)

\(= \frac{a+2}{a} - 2 - 2 + \frac{a+2}{2} =\)

\(=\frac{a+2}{a} ^{\color{blue}{\backslash2}} + \frac{a+2}{2} ^{\color{blue}{\backslash a}} - 4 ^{\color{blue}{\backslash 2a}} = \)

\(= \frac{2(a+2) + a(a+2)-8a}{2a} =\)

\(= \frac{2a+4 + a^2+2a - 8a}{2a} =\)

\(=\frac{a^2 - 4a + 4}{2a}= \frac{(a-2)^2}{2a}. \)

Вывод:

Так как \(a > 0\), то знаменатель \(2a > 0\), а числитель \((a-2)^2 \geq 0\), поэтому \(\frac{(a-2)^2}{2a} \geq 0\) при любом \(a > 0\).

Пояснения:

Чтобы выполнить доказательство, нашли значение разности левой и правой частей данного неравенства:

\(\frac{(a-2)^2}{2a}. \)

По условию \(a > 0\), значит, знаменатель \(2a > 0\), а числитель \((a-2)^2 \geq 0\), поэтому дробь \(\frac{(a-2)^2}{2a} \geq 0\) при любом \(a > 0\). Что и требовалось доказать.