Упражнение 728 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть \( x \) см - ширина прямоугольника (см), а \(y \) см - длина прямоугольника. Периметр прямоугольника равен 66 см, а его длина в 10 раз больше ширины.

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} 2(x+y)=66,  / : 2 \\ y=10x \end{cases} \)

\( \begin{cases} x+y=33, \\ y=10x \end{cases} \)

\( \begin{cases} x+10x=33, \\ y=10x \end{cases} \)

\( x+10x=33 \)

\(11x=33 \)

\(x = \frac{33}{11}\)

\( x=3 \)

\( y=10\cdot 3=30 \)

Ответ: ширина прямоугольника \(3\) см, длина \(30\) см.

Пояснения:

Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме его длины и ширины.

Мы составили систему уравнений: первое уравнение отражает периметр, второе — соотношение между длиной и шириной.

Решаем систему способом подстановки.

Алгоритм решения системы уравнений способом подстановки:

1) выражают из уравнения первой степени одну переменную через другую;

2) подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной;

3) решают получившиеся уравнение с одной переменной;

4) находят соответствующие значения второй переменной.

Линейное уравнение вида \(ax = b\) при \(a \neq 0\) имеет единственный корень: \(x = \frac{b}{a}\).

а) \(3(a+1) + a < 4(2+a)\)

\(3(a+1) + a - 4(2+a)=\)

\(=\cancel{3a} + 3 + \cancel{a} -8 -\cancel{4a} =\)

\(=-5 < 0\).

б) \((7p-1)(7p+1) < 49p^2\)

\((7p-1)(7p+1) - 49p^2=\)

\(=\cancel{49p^2} - 1 - \cancel{49p^2} = -1<0\).

в) \((a-2)^2 > a(a-4)\)

\((a-2)^2 - a(a-4)=\)

\(=\cancel{a^2} -\cancel{4a} + 4-\cancel{a^2} +\cancel{4a} = \)

\(=4 > 0\).

г) \((2a+3)(2a+1) > 4a(a+2)\)

\((2a+3)(2a+1) - 4a(a+2)=\)

\(=\cancel{4a^2} + \cancel{2a} +\cancel{6a} +3 -\cancel{4a^2} -\cancel{8a} =\)

\(=3 > 0\).

Пояснения:

При доказательстве учитываем то, что:

1. Если \(a - b < 0\), то \(a < b\).

2. Если \(a - b = 0\), то \(a = b\).

3. Если \(a - b > 0\), то \(a > b\).