Упражнение 723 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть \( x \) км/ч - собственная скорость теплохода, а \(y\) км/ч - скорость течения. Скорость течения на 40 км/ч меньше собственной: \(y=x-40\).

Составим систему уравнений:

\(\begin{cases} 4(x+y)=5(x-y), \\ y=x-40 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 4x+4y=5x-5y, \\ y=x-40 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 5x-4x = 4y + 5y, \\ y=x-40 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = 9y, \\ y=x-40 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = 9y, \\ y=9y-40 \end{cases}\)

\(y = 9y - 40\)

\(y - 9y = -40\)

\(-8y = -40\)

\(y = \frac{-40}{-8}\)

\(y = 5\)

\(x = 9\cdot5 = 45\)

Ответ: скорость течения \(5\) км/ч.

Пояснения:

Мы обозначили скорости теплохода и течения через \(x\) и \(y\) соответственно. По условию составили систему уравнений:

\(\begin{cases} 4(x+y)=5(x-y), \\ y=x-40 \end{cases}\).

В первом уравнении раскрыли скобки и привели подобные. Затем решили систему способом подстановки.

Алгоритм решения системы уравнений способом подстановки:

1) выражают из уравнения первой степени одну переменную через другую;

2) подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной;

3) решают получившиеся уравнение с одной переменной;

4) находят соответствующие значения второй переменной.

Линейное уравнение вида \(ax = b\) при \(a \neq 0\) имеет единственный корень: \(x = \frac{b}{a}\).

Обозначим производительность первой машины за \(x\). Тогда производительность второй машины равна: \(\frac{1}{6} - x\). Если первая машина выполняет половину работы, то это займёт: \(\frac{0,5}{x} = \frac{1}{2x}\) мин. Если вторую половину выполняет вторая машина, то это займёт:

\(\frac{0,5}{\tfrac{1}{6}-x} = \frac{1}{2\left(\frac{1}{6}-x\right)}\) мин.

Известно, что общее время равно 12,5 минут:

Составим уравнение:

\(\frac{1}{2x} + \frac{1}{2\left(\tfrac{1}{6}-x\right)} = 12,5\)

\(\frac{1}{2x} + \frac{1}{2\left(\tfrac{1}{6}-x\right)} = \frac{125}{10}\)

\(\frac{1}{2x} + \frac{1}{2\left(\tfrac{1}{6}-x\right)} = \frac{25}{2}\) \(/\times2x(\frac16 -x)\)

\(\frac16 - \cancel x + \cancel x = 25x(\frac16 -x)\)

\(\frac16 = \frac{25x}{6}-25x^2\)   \(/\times6\)

\(1=25x-150x^2\)

\(150x^2 -25x+1=0\)

\(a = 150\),  \(b = -25\),  \(c = 1\)

\(D = b^2 - 4ac = \)

\(=(-25)^2 - 4\cdot150 \cdot1 =\)

\(=625 - 600 = 25\),   \(\sqrt D = 5\).

\(x_1 = \frac{-(-25) + 5}{2\cdot150} = \frac{30}{300} = \frac{1}{10}\).

\(x_2 = \frac{-(-25) - 5}{2\cdot150} = \frac{20}{300} = \frac{1}{15} \).

1) Если производительность первой машины \(\frac{1}{10}\), то есть ее время работы \(10\) мин, то

\(\frac{1}{6} ^{\color{blue}{\backslash5}} - \frac{1}{10} ^{\color{blue}{\backslash3}} =\frac{5}{30} - \frac{3}{30} = \frac{2}{30}=\frac{1}{15} \) - производительность второй машины, то есть ее время работы \(15\) мин.

2) Если производительность первой машины \(\frac{1}{15}\), то есть ее время работы \(15\) мин, то

\(\frac{1}{6} ^{\color{blue}{\backslash5}} - \frac{1}{15} ^{\color{blue}{\backslash2}} =\frac{5}{30} - \frac{2}{30} = \frac{3}{30}=\frac{1}{10} \) - производительность второй машины, то есть ее время работы \(10\) мин.

Ответ: 10 мин и 15 мин.

Пояснения:

Переменную \(x\) выбрали как производительность первой машины. Тогда производительность второй машины выражается через \(x\) как \(\frac{1}{6} - x\), так как вместе они делают \(\frac{1}{6}\) работы за минуту. Время работы считается как «доля работы деленная на производительность».

Известно, что если сначала снять ксерокопию с половины рукописи одной машиной, а затем с оставшейся части — другой машиной, то вся работа будет закончена через 12,5 мин. Поэтому можем составить следующее дробное рациональное уравнение:

\(\frac{1}{2x} + \frac{1}{2\left(\tfrac{1}{6}-x\right)} = 12,5\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как выполнили преобразования и домножили обе части уравнения на общий знаменатель, получили полное квадратное уравнение, у которого дискриминант \(D=b^2-4ac > 0\), поэтому уравнение имеет два корня: \(x_1 = \frac{1}{10}\) и \(x_2 = \frac{1}{15}\). Оба корня удовлетворяют условию задачи.

Если производительность первой машины \(\frac{1}{10}\), то есть ее время работы \(10\) мин, то производительность второй машины \(\frac{1}{15}\), то есть ее время работы \(15\) мин.

Если производительность первой машины \(\frac{1}{15}\), то есть ее время работы \(15\) мин, то производительность второй машины \(\frac{1}{10}\), то есть ее время работы \(10\) мин.