Упражнение 721 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть \(x\) — количество спортивных костюмов, \(y\) — количество курток, тогда \(x + y = 65\). Известно, что  курток сшили в 1,6 раза больше, чем спортивных костюмов, тогда \(y = 1,5x\).

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} x+y=65, \\ y=1,6x \end{cases} \)

\( \begin{cases} x+1,6x=65, \\ y=1,6x \end{cases} \)

\( x+1,6x=65 \)

\( 2,6x=65 \)

\( x=\frac{65}{2,6}\)

\( x=\frac{650}{26}\)

\(x=25 \)

\( y=1,6\cdot 25=40 \)

Ответ: сшили \(25\) спортивных костюмов и \(40\) курток.

Пояснения:

По условию задачи составили систему из двух уравнений и решили эту систему способом подстановки.

Алгоритм решения системы уравнений способом подстановки:

1) выражают из уравнения первой степени одну переменную через другую;

2) подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной;

3) решают получившиеся уравнение с одной переменной;

4) находят соответствующие значения второй переменной.

Линейное уравнение вида \(ax = b\) при \(a \neq 0\) имеет единственный корень: \(x = \frac{b}{a}\).

Пусть через обе трубы бассейн наполняется за \(x\) ч. Тогда через одну первую трубу бассейн наполнится за \(x+9\) ч, через одну вторую трубу за \((x+9)+7 = x+16\) ч.

Производительность первой трубы \(\frac{1}{x+9}\), второй - \(\frac{1}{x+16}\), общая производительность - \(\frac{1}{x}\).

Составим уравнение:

\(\frac{1}{x+9} + \frac{1}{x+16} = \frac{1}{x}\) \(/\times x(x+9)(x+16)\)

ОДЗ:

\(x\neq0\) и \(x + 9\neq 0\) и \(x + 16\neq 0\)

               \(x\neq-9\)        \(x\neq-16\)

\(x(x+16) + x(x + 9) = (x+9)(x+16)\)

\(x^2 + 16x + x^2 + 9x =x^2 + 16x + 9x + 144\)

\(2x^2 + 25x = x^2 + 25x + 144\)

\(2x^2 + 25x - x^2 - 25x - 144 = 0\)

\(x^2 -144 = 0\)

\(x^2 = 144\)

\(x = \pm\sqrt {144}\)

\(x_1 = 12\)

\(x_2 = -12\) - не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: бассейн наполнится через обе трубы за 12 ч.

Пояснения:

Ввели переменную \(x\) — время наполнения двумя трубами. Через первую трубу бассейн наполняется на 9 часов дольше, через вторую — на 16 часов дольше. Тогда через одну первую трубу бассейн наполнится за \(x+9\) ч, через одну вторую трубу за \((x+9)+7 = x+16\) ч.

Составили дробное рациональное уравнение через производительности:

\(\tfrac{1}{x+9}+\tfrac{1}{x+16}=\tfrac{1}{x}\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили неполное квадратное уравнение вида \(x^2 = 144\), которое имеет два корня: \(x_1 = \sqrt {144} = 12\) и \(x_2 = -\sqrt {144} = -12\). Но отрицательный корень не подходит, так как время не может быть отрицательным числом. Значит, бассейн наполнится через обе трубы за 12 ч.