Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№740 учебника 2023-2025 (стр. 174):
Решите относительно \(x\) уравнение:
\[ (a-1)x^2+2ax+a+1=0 \]№740 учебника 2013-2022 (стр. 165):
Что больше: \(a^3 + b^3\) или \(ab(a+b)\), если \(a\) и \(b\) — неравные положительные числа?
№740 учебника 2023-2025 (стр. 174):
Вспомните:
№740 учебника 2013-2022 (стр. 165):
Вспомните:
№740 учебника 2023-2025 (стр. 174):
\( (a-1)x^2+2ax+a+1=0 \)
1 случай:
\(a-1\neq 0\)
\(a\neq 1\).
\(A=a-1\), \(B=2a\), \(C=a+1\).
\( D=B^2-4AC=\)
\(=(2a)^2-4(a-1)(a+1)=\)
\(=4a^2-4(a^2-1)=\)
\(=4a^2-4a^2+4=4 >0 \)
\(\sqrt{D}=2 \)
\( x_1=\frac{-2a + 2}{2(a-1)}=\frac{-2(a - 1)}{2(a-1)}=-1 \)
\( x_2=\frac{-2a - 2}{2(a-1)}=\frac{2(-a - 1)}{2(a-1)}=\frac{-a - 1}{a-1} \)
Случай 2.
\(a-1 = 0\), то \(a = 1\)
\( 0x^2+2\cdot 1 \cdot x+1+1=0 \)
\( 2x+2=0\)
\(2x = -2\)
\(x = \frac{-2}{2}\)
\(x=-1 \)
Ответ: если \(a\neq 1\), то \(x=-1\) или \(x=\frac{-a-1}{a-1}\); если \(a=1\), то \(x=-1\).
Пояснения:
При решении уравнения мы рассмотрели два случая:
1 случай:
Когда коэффициент перед \(x^2\) отличен от нуля, то есть \(a-1\neq 0\), откуда имеем \(a\neq 1\), и в таком случае квадратное уравнение
\( (a-1)x^2+2ax+a+1=0 \) решаем через дискриминант
\( D=B^2-4AC\), где \(A=a-1\),
\(B=2a\), \(C=a+1\) - коэффициенты квадратного уравнения. Дискриминант получается положительным числом, поэтому уравнение имеет два корня:
\( x_{1,2}=\frac{-B + \sqrt D}{2A}\), то есть
\(x=-1\) или \(x=\frac{-a-1}{a-1}\)
2 случай:
Когда коэффициент перед \(x^2\) равен нулю, то есть \(a - 1 = 0\), тогда \(a = 1\), и в этом случае квадратное уравнение \( (a-1)x^2+2ax+a+1=0 \) преобразуется в линейное:
\( 2x+2=0\), откуда \(x = -1\).
№740 учебника 2013-2022 (стр. 165):
\(a > 0\), \(b > 0\), \(a\neq b\).
\((a^3 + b^3)-ab(a+b)=\)
\(= a^3 + b^3 - a^2b-ab^2=\)
\(= (a^3 - a^2b) - (ab^2 - b^3)=\)
\(=a^2(a-b) - b^2(a-b)=\)
\(=(a-b)(a^2 - b^2) =\)
\(=(a-b)(a-b)(a+b)=\)
\(=(a-b)^2(a+b)>0\), так как при \(a > 0\), \(b > 0\) и \(a\neq b\):
\((a-b)^2 >0\), \(a + b > 0\), значит,
\((a^3 + b^3)>ab(a+b)\).
Пояснения:
Если \(a - b < 0\), то \(a < b\).
Если \(a - b > 0\), то \(a > b\).
Чтобы определить, какое выражение больше, находим разность выражений и определяем знак этой разности разности.
Мы из выражения \(a^3 + b^3\) вычли выражение \(ab(a+b)\) и получили:
\((a-b)^2(a+b)\).
По условию \(a > 0\), \(b > 0\), \(a\neq b\), поэтому
\((a-b)^2 >0\), \(a + b > 0\).
Если оба множителя положительны, то произведение положительно. Значит:
\((a-b)^2(a+b)>0\), поэтому
\((a^3 + b^3)>ab(a+b)\).
Вернуться к содержанию учебника