Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№801 учебника 2023-2025 (стр. 180):
Найдите координаты точек пересечения графиков функций:
а) \(y=2x+3\) и \(y=\dfrac{34}{x-5}\);
б) \(y=\dfrac{x^2-5x}{x+3}\) и \(y=2x\).
№801 учебника 2013-2022 (стр. 180):
Найдите пересечение и объединение:
а) множеств цифр, используемых в записи чисел 11243 и 6321;
б) множеств букв, используемых в записи слов «геометрия» и «география»;
в) множества простых чисел, не превосходящих 40, и множества двузначных чисел;
г) множества двузначных чисел и множества натуральных чисел, кратных 19.
№801 учебника 2023-2025 (стр. 180):
Вспомните.
№801 учебника 2013-2022 (стр. 180):
Вспомните:
№801 учебника 2023-2025 (стр. 180):
а) \(y=2x+3\) и \(y=\dfrac{34}{x-5}\)
\(2x+3=\dfrac{34}{x-5}\) \(/\times(x-5)\)
\((2x+3)(x-5)=34\)
\(2x^2 -10x+3x -15-34=0\)
\(2x^2-7x-49=0\)
\(a = 2\), \(b = -7\), \(c = -49\)
\(D = b^2-4ac=\)
\(=(-7)^2-4\cdot2\cdot(-49)=\)
\(=49+392=441,\) \(\sqrt{D}=21.\)
\(x_1=\dfrac{-(-7) + 21}{2\cdot2}=\dfrac{28}{4}=7\).
\(x_2=\dfrac{-(-7) - 21}{2\cdot2}=\dfrac{-14}{4}=\)
\(=-\frac{7}{2}=-3,5\)
Если \(x=7\), то
\(y=2\cdot 7+3=14+3=17.\)
Если \(x=-3,5\), то
\(y=2\cdot (-3,5)+3=-7+3=-4.\)
Ответ: \((7,17), \;(-3,5,-4).\)
б) \(y=\dfrac{x^2-5x}{x+3}\) и \(y=2x\)
\(\dfrac{x^2-5x}{x+3}=2x\) \(/\times(x+3)\)
\(x^2-5x=2x(x+3)\)
\(x^2-5x=2x^2+6x\)
\(x^2-5x-2x^2-6x=0\)
\(-x^2-11x=0\) \(/\times(-1)\)
\(x^2+11x=0\)
\(x(x+11)=0\)
\(x=0\) или \(x+11=0\)
\(x = -11\)
Если \(x=0\), то
\(y=2\cdot 0=0.\)
Если \(x=-11\), то
\(y=2\cdot (-11)=-22.\)
Ответ: \((0,0), \;(-11,-22)\).
Пояснения:
Чтобы найти точки пересечения графиков, нужно приравнять функции и решить полученное дробное рациональное уравнение относительно \(x\). Найденные значения подставляем в одну из функций для нахождения \(y\). При этом проверяем, чтобы знаменатель не был равен нулю.
Алгоритм решения уравнений:
1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;
2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение (предварительно, если возможно, разложить все знаменатели на множители);
3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
4) решить получившееся целое уравнение;
5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.
Решение целых уравнений:
1) Полное квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c=0\), которое решается через дискриминант \(D = b^2-4ac\).
– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:
\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);
\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).
2) Неполное квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx = 0\) решается вынесением общего множителя за скобки \(x(ax + b) = 0\), учитывая то, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
3) Линейное уравнение вида \(ax = b\), которое при \(a\neq0\) имеет единственный корень \(x = \frac{a}{b}\).
№801 учебника 2013-2022 (стр. 180):
а) \( A = \{1, 2, 3, 4\} \).
\( B = \{1, 2, 3, 6\} \).
\(A \cap B = \{1, 2, 3\}\).
\(A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}\).
б) \(A = \{г, е, о, м, т, р, и, я\}\).
\(B = \{г, е, о, р, а, ф, и, я\}\).
\(A \cap B = \{г, е, о, р, и, я\}\).
\(A \cup B = \{г, е, о, м, т, р, и, я, а, ф\}\).
в) \(A = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37\}\).
\(B = \{10, 11, 12, ..., 97, 98, 99\} \).
\(A \cap B = \{11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37\}\).
\(A \cup B = \{2, 3, 5, 7, 10, 11, ..., 98, 99\}\).
г) \(A = \{10, 11, 12, ..., 97, 98, 99\} \).
\(B = \{19, 38, 57, 76, 95, 114, 133, \dots\}\).
\(A \cap B =\{19, 38, 57, 76, 95\}\)
\(A \cup B = \{10, 11, ..., 98, 99, 114, 133, \dots\}\).
Пояснения:
Пересечение множеств (\(\cap\)) — элементы, которые встречаются и в \(A\), и в \(B\). Объединение множеств (\(\cup\)) — все элементы, которые встречаются хотя бы в одном из множеств.
Вернуться к содержанию учебника