Упражнение 798 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\dfrac{x+1}{6}+\dfrac{20}{x-1}=4\)  \(/\times6(x-1)\)

ОДЗ: \(x - 1 \neq 0\)

          \(x \neq 1\)

\((x+1)(x-1)+120=24(x-1)\)

\(x^2-1+120=24x-24\)

\(x^2-1+120-24x+24=0\)

\(x^2-24x+143=0\)

\(a = 1\),  \(b = -24\),  \(c = 143\)

\(D=b^2 - 4ac=\)

\(=(-24)^2 - 4\cdot1\cdot143 =\)

\(=576-572=4,\)     \(\sqrt D = 2\).

\(x_1=\dfrac{-(-24) + 2}{2\cdot1}=\dfrac{26}{2}=13\).

\(x_2=\dfrac{-(-24) - 2}{2\cdot1}=\dfrac{22}{2}=11\).

Ответ: \(13;   11\).

б) \(\dfrac{x+15}{4}-\dfrac{21}{x+2}=2\) \(/\times4(x+2)\)

ОДЗ: \(x + 2 \neq 0\)

         \(x \neq -2\)

\((x+15)(x+2)-84=8(x+2)\)

\(x^2 +2x+15x+30-84=8x+16\)

\(x^2 +2x+15x+30-84-8x-16=0\)

\(x^2+9x-70=0\)

\(a = 1\),  \(b = 9\),  \(c = -70\)

\(D=b^2 - 4ac=9^2 - 4\cdot1\cdot(-70)=\)

\(=81+280=361,\)     \(\sqrt D = 19\).

\(x_1=\dfrac{-9 + 19}{2\cdot1}=\dfrac{10}{2}=5\).

\(x_2=\dfrac{-9 - 19}{2\cdot1}=\dfrac{-28}{2}=-14\).

Ответ: \(5;   -14\).

в) \(\dfrac{12}{x-1}-\dfrac{8}{x+1}=1\)  \(/\times (x-1)(x + 1)\)

ОДЗ: \(x - 1 \neq 0\)  и  \(x + 1 \neq 0\)

         \(x \neq 1\)              \(x \neq -1\)

\(12(x + 1) - 8(x - 1) = (x-1)(x+1)\)

\(12x + 12 - 8x + 8 = x^2 - 1\)

\(12x + 12 - 8x + 8 - x^2 + 1 = 0\)

\(-x^2+4x+21=0\)    \(/\times (-1)\)

\(x^2-4x-21=0\)

\(a = 1\),  \(b = -4\),  \(c = -21\)

\(D=b^2 - 4ac=\)

\(=(-4)^2 -4\cdot1\cdot(-21)=\)

\(=16+84=100,\)    \(\sqrt D = 10\).

\(x_1=\dfrac{-(-4) + 10}{2}=\dfrac{14}{2} = 7\).

\(x_2=\dfrac{-(-4) - 10}{2}=\dfrac{-6}{2} = -3\).

Ответ: \(7;   -3\).

г) \(\dfrac{16}{x-3}+\dfrac{30}{1-x}=3\)  \(/\times (x-3)(1-x)\)

ОДЗ: \(x - 3\neq0\)  и  \(1 - x \neq0\)

          \(x \neq 3\)             \(x \neq 1\)

\(16(1 - x) + 30(x-3) = 3(x-3)(1-x)\)

\(16 - 16x +30x - 90 = 3(x - x^2 -3 +3x)\)

\(14x -74 = 3(4x-x^2-3)\)

\(14x - 74 = 12x -3x^2 -9\)

\(14x - 74 -12x +3x^2 + 9 = 0\)

\(3x^2 +2x -65 = 0\)

\(a = 3\),  \(b = 2\),  \(c = -65\)

\(D=b^2 - 4ac=2^2 - 4\cdot3\cdot(-65) =\)

\( = 4+780=784,\)     \(\sqrt D = 28\).

\(x_1=\frac{-2+28}{2\cdot3}=\frac{26}{6}=\frac{13}{3} = 4\frac13\).

\(x_2=\frac{-2-28}{2\cdot3}=\frac{-30}{6}=-5\).

Ответ: \(4\frac13;   -5\).

д) \(\dfrac{3}{1-x}+\dfrac{1}{1+x}=\dfrac{28}{1-x^2}\)   \(/\times (1-x)(1+x)\)

ОДЗ: \(1-x \neq 0\)  и  \(1 + x \neq0\)

         \(x \neq 1\)              \(x \neq -1\)

\(\dfrac{3}{1-x}+\dfrac{1}{1+x}=\dfrac{28}{(1-x)(1+x)}\)

\(3(1+x) + (1-x) = 28\)

\(3 + 3x + 1 - x - 28=0\)

\(2x -24 = 0\)

\(2x = 24\)

\(x = \frac{24}{2}\)

\(x = 12\)

Ответ: \(12\).

е) \(\dfrac{5}{x-2}-\dfrac{3}{x+2}=\dfrac{20}{x^2-4}\)

\(\dfrac{5}{x-2}-\dfrac{3}{x+2}=\dfrac{20}{(x-2)(x+2)}\) \(/\times (x-2)(x+2)\)

ОДЗ: \(x-2 \neq0\)  и \(x + 2 \neq 0\)

         \(x \neq2\)            \(x\neq-2\)

\(5(x + 2) - 3(x-2) = 20\)

\(5x + 10 -3x + 6 - 20 = 0\)

\(2x -4 = 0\)

\(2x = 4\)

\(x = \frac42\)

\(x = 2\) - не подходит по ОДЗ.

Ответ: нет корней.

ж) \(\dfrac{x+2}{x+1}+\dfrac{x+3}{x-2}=\dfrac{29}{(x+1)(x-2)}\) \(/\times (x+1)(x-2)\)

ОДЗ: \(x + 1 \neq 0\)  и  \(x - 2 \neq 0\)

         \(x \neq -1\)          \(x\neq2\)

\((x + 2)(x-2) + (x+3)(x+1) = 29\)

\(x^2 - 4 + x^2 + x + 3x + 3 -29 = 0\)

\(2x^2 +4x -30 = 0\)     \( / : 2\)

\(x^2 +2x - 15 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 2\),  \(c = -15\)

\(D=b^2 - 4ac= 2^2 - 4\cdot1\cdot(-15)=\)

\(=4+60=64\),     \(\sqrt D = 8\).

\(x_1=\frac{-2 + 8}{2\cdot1} = \frac{6}{2} = 3\).

\(x_1=\frac{-2 - 8}{2\cdot1} = \frac{-10}{2} = -5\).

Ответ: \(3;   -5\).

з)  \(\dfrac{x+2}{x+3}-\dfrac{x+1}{x-1}=\dfrac{4}{(x+3)(x-1)}\) \(/\times (x+3)(x-1)\)

ОДЗ: \(x + 3 \neq0\)  и  \(x -1 \neq0\)

         \(x \neq -3\)          \(x \neq 1\)

\((x + 2)(x - 1) - (x + 1)(x + 3) = 4\)

\(x^2 -x+2x-2 - (x^2 + 3x + x + 3) -4 = 0\)

\(\cancel{x^2} - x + 2x - 2 - \cancel{x^2} - 3x - x - 3 - 4 =0\)

\(-3x  - 9 = 0\)

\(-3x = 9\)

\(x = \frac{9}{-3}\)

\(x = -3\) - не подходит по ОДЗ.

Ответ: корней нет.

---

Пояснения:

Алгоритм решения уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение (предварительно, если возможно, разложить все знаменатели на множители);

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

Решение целых уравнений:

1) Полное квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c=0\), которое решается через дискриминант \(D = b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

2) Линейное уравнение вида \(ax = b\), которое при \(a\neq0\) имеет единственный корень \(x = \frac{a}{b}\).

Раскрытие скобок:

\(a(b + c) = ab + ac\);

\((a + b)(c -d) = ac - ad + bc -bd\).

Разность квадратов:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a + b)\)

Противоположные выражения:

\(a - b = -(b - a)\).

а) \(x^2 - 8x + q = 0\):

\(a = 1\),  \(b = -8\),  \(c = q\)

\(x_1 - x_2 = 16\)

По теореме обратной теореме Виета:

\(x_1+x_2 = 8\)  и  \(x_1\cdot x_2 = q\).

Составим систему:

\( \begin{cases} x_1 - x_2 = 16,\\ x_1+x_2 = 8 \end{cases} \) \((+)\)

\( \begin{cases} 2x_1 = 24,\\ x_1+x_2 = 8 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x_1 = \frac{24}{2},\\ x_2 = 8 - x_1 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x_1 = 12,\\ x_2 = 8 - 12 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x_1 = 12,\\ x_2 = -4 \end{cases} \)

\(q=x_1\cdot x_2 = 12\cdot(-4) = -48\)

Ответ: \(q = -48\).

б) \(x^2 - 7x + q = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -7\),  \(c = q\)

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 29\)

По теореме обратной теореме Виета:

\(x_1+x_2 = 7\)  и  \(x_1\cdot x_2 = q\).

\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} =29 \)

\(x_{1}^{2} + 2x_1x_2+ x_{2}^{2} - 2x_1x_2 =29 \)

\((x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2=29\)

\(7^2 - 2q = 29\)

\(49 - 2q = 29\)

\(2q = 49 - 29\)

\(2q = 20\)

\(q = \frac{20}{2}\)

\(q = 10\)

Ответ: \(q = 10\).

---

Пояснения:

Для уравнения вида \(x^2 + bx + c = 0\) по теореме Виета:

\[ x_1 + x_2 = -b,\qquad x_1x_2 = c. \]

В пункте а) согласно условию составили систему, решив которую способом сложения, нашли \(x_1\) и \(x_2\), а затем нашли \(q =x_1x_2\).

В пункте б) по условию \(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 29\). В рассматриваемом выражении выделили квадрат двучлена, что позволило найти значение \(q\).