Упражнение 895 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть сторона квадрата равна \(x\) дм. После отрезания полосы шириной 5 дм получается прямоугольник со сторонами \(x\) и \(x - 5\). По условию его площадь равна 6 дм².

Составим уравнение:

\(x(x - 5) = 6\)

\(x^2 - 5x - 6=0\)

\(a = 1\),  \(b = -5\),  \(c = -6\)

\(D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = \)

\(=25 + 24 = 49\),   \(\sqrt D = 7\).

\(x_1 = \frac{-(-5) + 7}{2\cdot1}=\frac{12}{2} = 6\).

\(x_2 = \frac{-(-5) - 7}{2\cdot1}=\frac{-2}{2} = -1\) - не удовлетворяет условию.

Ответ: сторона квадрата равна \(6\) дм.

Пояснения:

Пусть сторона квадрата \(x\). После отрезания полосы шириной 5 дм остаётся прямоугольник. Его стороны: \(x\) и \(x - 5\). Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины, значит, площадь полученного прямоугольника равна \(x(x-5)\). По условию площадь оставшейся части листа равна 6 дм², значит, можем составить следующее уравнение:

\(x(x-5) = 6\).

Выполнив преобразования, получили полное квадратное уравнение с дискриминантом \(D = b^2-4ac>0\), значит, уравнение имеет два корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\).

Получили два корня: \(6\) и \(-1\), но отрицательный корень не подходит, так как длина не может быть отрицательным числом. Следовательно, первоначально лист жести имел форму квадрата со стороной \(6\) дм.

а)  \(-1<3y-5<1 \)

\(\begin{cases} 3y-5 > -1,\\ 3y-5<1 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 3y>-1 + 5, \\ 3y<1 + 5 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 3y>4,   / : 3 \\ 3y<6    / : 3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y>\frac43, \\ y<2 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y>1\frac13, \\ y<2 \end{cases}\)

Ответ: \(\left(1\frac{1}{3};\,2\right).\)

б) \(-2\le\dfrac{5-2b}{4}\le 1 \)

\(\begin{cases} \dfrac{5-2b}{4} \ge -2, /\times 4 \\ \dfrac{5-2b}{4}\le 1 /\times 4 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 5-2b \ge -8, \\ 5-2b \le 4 \end{cases}\)

\(\begin{cases} -2b \ge -8 - 5, \\ -2b \le 4 - 5 \end{cases}\)

\(\begin{cases} -2b \ge -13,  / : (-2) \\ -2b \le -1  / : (-2) \end{cases}\)

\(\begin{cases} b \le 6,5, \\ b \ge 0,5 \end{cases}\)

Ответ: \([0,5;\,6,5].\)

Пояснения:

По условию составляем двойное неравенство.

Двойное неравенство удобно раскладывать на систему из двух простых неравенств:

1) средняя часть больше левой части;

2) средняя часть меньше правой.

Чтобы решить систему неравенств, нужно найти пересечение решений неравенств системы, то есть найти множество чисел, которое является одновременно решением и одного неравенства и решением другого неравенства. Если решения неравенств не пересекаются, то система решений не имеет.

При решении неравенств системы используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство.

- если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.