Упражнение 891 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(\alpha\) и \(\beta\) — углы треугольника.

\(58^\circ \leq \alpha \leq 59^\circ\),

\(102^\circ \leq \beta \leq 103^\circ\).

Пусть третий угол треугольника равен \(x^\circ\).

\(\alpha + \beta + x = 180^\circ\)

\(x = 180^\circ - (\alpha + \beta)\)

\(58^\circ + 102^\circ \leq \alpha + \beta \leq 59^\circ + 103^\circ\)

\(160^\circ \leq \alpha + \beta \leq 162^\circ\)

\(-162^\circ \leq -(\alpha + \beta) \leq -160^\circ\)

\(180^\circ -162^\circ \leq 180^\circ -(\alpha + \beta) \leq 180^\circ -160^\circ\)

\(18^\circ \leq x \leq 20^\circ.\)

Ответ: величина третьего угла треугольника \(18^\circ \leq x \leq 20^\circ.\)

Пояснения:

В любом треугольнике сумма углов равна \(180^\circ\).

Чтобы найти границы для третьего угла, нужно сначала оценить сумму углов \(\alpha\) и \(\beta\), а затем оценить разность \(180^\circ\) и суммы углов \(\alpha\) и \(\beta\).

При оценке значений используем то, что:

- если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство;

- если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.

а) \( \begin{cases} \dfrac{x-1}{2}-\dfrac{x-3}{3}<2,  /\times 6 \\[2pt] \dfrac{13x-1}{2}>0/\times 2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 3(x-1)-2(x-3)<12,\\[2pt] 13x-1>0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 3x-3-2x+6<12,\\[2pt] 13x>1 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x+3<12,\\[2pt] 13x>1  / : 13 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x<12-3,\\[2pt] x>\frac{1}{13} \end{cases} \)

\( \begin{cases} x<9,\\[2pt] x>\frac{1}{13} \end{cases} \)

Ответ: \((\frac{1}{13}; 9)\).

б) \( \begin{cases} \dfrac{3x+1}{2} < -1,  /\times 2 \\[2pt] \dfrac{x}{2} - 1 < x  /\times 2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 3x+1 < -2, \\[2pt] x - 2 < 2x \end{cases} \)

\( \begin{cases} 3x < -2 - 1, \\[2pt] x - 2x < 2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 3x < -3, / : 3 \\[2pt] -x < 2 / : (-1) \end{cases} \)

\( \begin{cases} x < -1, \\[2pt] x > -2 \end{cases} \)

Ответ: \((-2; -1)\).

в) \( \begin{cases} 4-\dfrac{y-1}{3}\ge y, /\times 3 \\[2pt] \dfrac{7y-1}{8}\ge 6  /\times 8 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 12-(y-1)\ge 3y, \\[2pt] 7y-1 \ge 48 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 12-y+1\ge 3y, \\[2pt] 7y \ge 48 + 1 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 13-y\ge 3y, \\[2pt] 7y \ge 49 / : 7 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -y - 3y \ge -13, \\[2pt] y \ge 7 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -4y \ge -13,  / : (-4) \\[2pt] y \ge 7 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y \le \frac{13}{4}, \\[2pt] y \ge 7 \end{cases} \)

\( \begin{cases} y \le 3,25, \\[2pt] y \ge 7 \end{cases} \)

Ответ: нет решения.

г) \( \begin{cases} \dfrac{5a+8}{3}-a\ge 2a, /\times 3 \\[2pt] 1-\dfrac{6-15a}{4}\ge a /\times 4 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 5a+8-3a\ge 6a, \\[2pt] 4-(6-15a) \ge 4a \end{cases} \)

\( \begin{cases} 2a+8\ge 6a, \\[2pt] 4-6+15a \ge 4a \end{cases} \)

\( \begin{cases} 2a-6a\ge -8, \\[2pt] -2+15a \ge 4a \end{cases} \)

\( \begin{cases} -4a\ge -8,  / : (-4) \\[2pt] 15a - 4a \ge 2 \end{cases} \)

\( \begin{cases} a \le 2, \\[2pt] 11a \ge 2  / : 11 \end{cases} \)

\( \begin{cases} a \le 2, \\[2pt] a \ge \frac{2}{11} \end{cases} \)

Ответ: \([\frac{2}{11}; 2]\).

Пояснения:

Чтобы решить систему неравенств, нужно найти пересечение решений неравенств системы, то есть найти множество чисел, которое является одновременно решением и одного неравенства и решением другого неравенства. Если решения неравенств не пересекаются, то система решений не имеет.

При решении неравенств системы используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство.

- если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

Приведение дробей к общему знаменателю:

\(\dfrac{A}{m}\pm\dfrac{B}{n}=\dfrac{An\pm Bm}{mn}\).

Раскрытие скобок: 

\(k(x\pm y)=kx\pm ky\);

\(-(a - b) = b - a\).