Упражнение 972 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть скорость лодки в стоячей воде равна \(x\) км/ч.

\(5\) ч \(20\) мин = \(5\frac{20}{60}\) ч = \(5\frac13\) ч = \(\frac{16}{3}\) ч

Составим уравнение:

\(\frac{30}{x+3} + \frac{30}{x-3} = \frac{16}{3}\) \(/\times3(x+3)(x-3)\)

\(90(x-3) + 90(x+3) = 16(x+3)(x-3)\)

\(90x - \cancel{270} + 90 x + \cancel{270}  = 16(x^2 - 9)\)

\(180x = 16x^2 - 144\)

\(16x^2 - 180x - 144 = 0\)    \(/ : 4\)

\(4x^2 - 45x - 36 = 0\)

\(a = 4\),  \(b = -45\),  \(c = -36\)

\(D =b^2 -4ac=\)

\(=(-45)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-36) =\)

\(=2025 + 576 = 2601\),    \(\sqrt{D} = 51\).

\(x_1 = \frac{45 + 51}{2\cdot4}=\frac{96}{8} = 12\).

\(x_2 =\frac{45 - 51}{2\cdot4}= \frac{-6}{8} =-\frac34\) - не удовлетворяет условию.

Ответ: скорость лодки в стоячей воде равна 12 км/ч.

Пояснения:

При решении задачи учитывается, что скорость лодки относительно берега изменяется из-за течения реки:

- по течению: \(v_{лодки} + v_{течения}\);

- против течения: \(v_{лодки} - v_{течения}\).

Время движения рассчитывается по формуле:

\[t = \frac{s}{v},\]

где \(s\) — путь, \(v\) — скорость.

Обозначив скорость лодки в стоячей воде через \(x\), и, учитывая то, что на весь путь лодка затратила 5 ч 20 мин, составили дробное рациональное уравнение:

\(\frac{30}{x+3} + \frac{30}{x-3} = \frac{16}{3}\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили полное квадратное уравнение

\(4x^2 - 45x - 36 = 0\), у которого дискриминант больше нуля, следовательно, имеем два корня уравнения:

\(x_1 = 12\) и \(x_2 = -\frac34\).

Но отрицательный корень не подходит, так как скорость не может быть отрицательным числом. Значит, скорость лодки в стоячей воде равна 12 км/ч.

а) Верно.

б) Верно.

в) Верно.

Пояснения:

Основные правила знака степени:

1. Если \(a > 0\), то при любом целом \(n\) выполняется \(a^n > 0\), потому что положительное число в любой степени остаётся положительным.

2. Если \(a < 0\) и показатель \(n\) чётный, то \(a^n > 0\), так как произведение чётного количества отрицательных множителей даёт положительное число.

3. Если \(a < 0\) и \(n\) нечётный, то \(a^n < 0\), так как произведение нечётного количества отрицательных множителей остаётся отрицательным.

4. Отрицательный показатель не меняет знак результата, а только превращает степень в обратную дробь:

\[ a^{-n} = \frac{1}{a^n}. \]

Следовательно, знак определяется только основанием и чётностью показателя.