Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№970 учебника 2023-2025 (стр. 215):
Решите уравнение:
а) \(\frac{x^2 - 4}{6} - \frac{x}{2} = \frac{x - 4}{3}\);
б) \(\frac{2x^2 - 1}{2} - x + \frac{1}{2} = 0\).
№970 учебника 2013-2022 (стр. 216):
Вычислите:
а) \((-4)^{-3}\); б) \(2{,}5^{-1}\);
в) \(\left(-\dfrac{3}{4}\right)^{-2}\); г) \(\left(1\dfrac{1}{3}\right)^{-3}\);
д) \(-0{,}4^{-4}\); е) \(-\left(2\dfrac{1}{2}\right)^{-2}\).
№970 учебника 2023-2025 (стр. 215):
Вспомните.
№970 учебника 2013-2022 (стр. 216):
Вспомните:
№970 учебника 2023-2025 (стр. 215):
а) \(\frac{x^2 - 4}{6} - \frac{x}{2} = \frac{x - 4}{3}\) \( /\times 6\)
\(x^2 - 4 - 3x = 2(x - 4)\)
\(x^2 - 3x - 4 = 2x - 8\)
\(x^2 - 3x - 4 - 2x + 8 = 0\)
\(x^2 - 5x + 4 = 0\)
\(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 4\)
\(D = b^2 - 4ac =\)
\(=(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 =\)
\(= 25 - 16 = 9\), \(\sqrt D = 3\).
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).
\(x_1= \frac{-(-5) + 3}{2}=\frac82 = 4\).
\(x_2= \frac{-(-5)-3}{2}=\frac22 = 1\).
Ответ: \(1; 4\).
б) \(\frac{2x^2 - 1}{2} - x + \frac{1}{2} = 0\) \( /\times 2\)
\(2x^2 - 1 - 2x + 1 = 0\)
\(2x^2 - 2x = 0\) \(/ : 2\)
\(x^2 - x = 0\).
\(x(x - 1) = 0\).
\(x = 0\) или \(x - 1 = 0\)
\(x = 1\)
Ответ: \(0,\; 1\).
Пояснения:
Использованные приёмы и формулы:
1. В каждом уравнении сначала избавились от знаменателей, для этого обе части уравнения умножили на общий знаменатель дробей, входящих в рассматриваемое уравнение.
2) Раскрытие скобок:
\(a(b+c) = ab + ac\).
3. Все слагаемые из правой части уравнения перенесли в левую, изменив их знаки на противоположные, и привели подобные слагаемые в левой части уравнения. В пункте а) получили полное квадратное уравнение вида \(ax^2+bx+c=0\). В пункте б) получили неполное квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx = 0\).
4. Количество корней полного квадратного уравнения зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:
\(D=b^2-4ac\).
– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:
\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);
\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).
5. Неполное квадратное уравнение \(ax^2 + bx = 0\) решается разложением на множители (выносим \(x\) за скобки), учитывая то, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
№970 учебника 2013-2022 (стр. 216):
а) \((-4)^{-3} = \dfrac{1}{(-4)^3} = \dfrac{1}{-64} = -\dfrac{1}{64}\)
б) \(2{,}5^{-1} =\left(\dfrac{25}{10}\right)^{-1}=\left(\dfrac{5}{2}\right)^{-1}=\)
\(=\dfrac{2}{5} = 0{,}4\)
в) \(\left(-\dfrac{3}{4}\right)^{-2} = \left(-\dfrac{4}{3}\right)^2 = \dfrac{16}{9} =1\dfrac{7}{9}\)
г) \(\left(1\dfrac{1}{3}\right)^{-3} = \left(\dfrac{4}{3}\right)^{-3} = \left(\dfrac{3}{4}\right)^3 =\)
\(=\dfrac{27}{64}\)
д) \(-0{,}4^{-4} = -\left(\dfrac{4}{10}\right)^{-4}=\)
\(=-\left(\dfrac{2}{5}\right)^{-4} = -\left(\dfrac{5}{2}\right)^4 =\)
\(=-\dfrac{625}{16} =-39\dfrac{1}{16} \)
е) \(-\left(2\dfrac{1}{2}\right)^{-2} = -\left(\dfrac{5}{2}\right)^{-2} =\)
\(=-\left(\dfrac{2}{5}\right)^2 = -\dfrac{4}{25}\).
Пояснения:
Основные правила работы со степенями:
1. \( a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \)
\(\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n = \frac{b^n}{a^n}\).
2. При возведении отрицательного числа в степень с чётным показателем получаем положительное число, а при возведении отрицательного числа в степень с нечётным показателем получаем отрицательное число.
3. Знак минус перед выражением (вне скобок) не влияет на степень — он сохраняется отдельно.
Вернуться к содержанию учебника