Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№1011 учебника 2023-2025 (стр. 227):
Докажите, что если \(x+y+z=1\), то \[ \sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1}\le 5. \]
№1011 учебника 2013-2022 (стр. 222):
Найдите область определения функции:
а) \(y = \dfrac{1}{|x| - x}\);
б) \(y = \dfrac{1}{|x| + x}\).
№1011 учебника 2023-2025 (стр. 227):
Вспомните:
№1011 учебника 2013-2022 (стр. 222):
Вспомните:
№1011 учебника 2023-2025 (стр. 227):
Если \(x+y+z=1\), то
\( \sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1}\le 5. \)
\( \sqrt{4x+1}\le \frac{(4x+1)+1}{2}\)
\( \sqrt{4x+1}\le \frac{4x+2}{2}\)
\( \sqrt{4x+1}\le \frac{\cancel2(2x+1)}{\cancel2}\)
\( \sqrt{4x+1}\le2x+1\)
Аналогично,
\(\sqrt{4y+1}\le 2y+1\),
\(\sqrt{4z+1}\le 2z+1. \)
Складываем неравенства:
\( \sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1} \le (2x+1)+(2y+1)+(2z+1)\)
\( \sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1} \le (2x+2y+ 2z)+3\)
\(\sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1} \le2(x+y+z)+3\)
\(\sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1} \le2 \cdot 1+3\)
\(\sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1} \le5\)
Что и требовалось доказать.
Пояснения:
Использованное свойство:
для любого \(u\ge0\):
\( (\sqrt{u}-1)^2\ge0 \), то есть по формуле квадрата разности имеем:
\(u-2\sqrt{u}+1\ge0 \), откуда
\(2\sqrt{u}\le u+1 \), значит,
\(\sqrt{u}\le \frac{u+1}{2}. \)
Применили это свойство к каждому выражению \(4x+1,\;4y+1,\;4z+1\) и учли то, что \(x+y+z=1\).
№1011 учебника 2013-2022 (стр. 222):
а) \(y = \dfrac{1}{|x| - x}\)
\(|x| - x \ne 0\)
1) Если \(x \ge 0\), то
\(|x| - x = x - x = 0\) - не подходит.
2) Если \(x < 0\), то
\(|x| - x = -x - x = -2x \ne 0.\)
Ответ: \(x \in (\infty; 0).\)
б) \(y = \dfrac{1}{|x| + x}\)
\(|x| + x \ne 0\)
1) Если \(x > 0\), то
\(|x| + x = x + x = 2x.\)
2) Если \(x \le 0\), то
\(|x| + x = -x + x = 0\) - не подходит.
Ответ: \(x \in (0; +\infty)\).
Пояснения:
Область определения функции — это множество всех значений переменной \(x\), при которых выражение имеет смысл, то есть в данном случае знаменатель не равен нулю.
а) \(y = \dfrac{1}{|x| - x}\)
Рассмотрим выражение \(|x| - x\).
1) Если \(x \ge 0\), то \(|x| = x\), тогда
\(|x| - x = x - x = 0\). Делить на ноль нельзя, значит \(x\ge0\) не входят в область определения функции.
2) Если \(x < 0\), то \(|x| = -x\), тогда
\(|x| - x = -x - x = -2x \ne 0.\)
Следовательно, область определения функции: \(x < 0.\)
б) \(y = \dfrac{1}{|x| + x}\)
Рассмотрим выражение \(|x| + x\).
1) Если \(x \ge 0\), то \(|x| = x\), тогда
\(|x| + x = x + x = 2x.\)
Чтобы знаменатель не был равен нулю, нужно \(x \ne 0.\)
2) Если \(x < 0\), то \(|x| = -x\), тогда
\(|x| + x = -x + x = 0\). Делить на ноль нельзя, значит \(x\le0\) не входят в область определения функции.
Следовательно, область определения функции: \(x > 0.\)
Вернуться к содержанию учебника