Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№1015 учебника 2023-2025 (стр. 227):
Докажите неравенство:
а) \((x+1)^2 \ge 4x\);
б) \((3b+1)^2 > 6b\);
в) \(4(x+2) < (x+3)^2 - 2x\);
г) \(1+(m+2)^2 > 3(2m-1)\).
№1015 учебника 2013-2022 (стр. 223):
Запишите в стандартном виде:
а) \(45 \cdot 10^{3}\);
б) \(117 \cdot 10^{5}\);
в) \(0{,}74 \cdot 10^{6}\);
г) \(0{,}06 \cdot 10^{5}\).
№1015 учебника 2023-2025 (стр. 227):
Вспомните:
№1015 учебника 2013-2022 (стр. 223):
Вспомните:
№1015 учебника 2023-2025 (стр. 227):
а) \((x+1)^2 \ge 4x\)
\((x+1)^2-4x = \)
\(=x^2+2x+1-4x = \)
\(=x^2-2x+1=(x-1)^2 \ge 0.\)
Неравенство доказано.
б) \((3b+1)^2 > 6b\)
\((3b+1)^2-6b =\)
\(=9b^2+\cancel{6b}+1-\cancel{6b} =\)
\(=9b^2+1>0.\)
Неравенство доказано.
в) \(4(x+2) < (x+3)^2 - 2x\)
\(4(x+2) - ((x+3)^2 - 2x)=\)
\(=4x + 8-(x+3)^2 + 2x =\)
\(=4x + 8 - (x^2 + 6x + 9) + 2x =\)
\(=\cancel{4x} + 8 -x^2 - \cancel{6x} - 9 + \cancel{2x} =\)
\(=-x^2 - 9 = -(x^2 + 9) < 0\)
Неравенство доказано.
г) \(1+(m+2)^2 > 3(2m-1)\).
\(1+(m+2)^2-3(2m-1) =\)
\(=1+m^2+4m+4-6m+3 =\)
\(=m^2-2m+8=\)
\(=(m^2-2m+1)+7=\)
\(= (m-1)^2+7>0\)
Неравенство доказано.
Пояснения:
При доказательстве находим разность левой и правой частей неравенства и учитываем то, что:
- если \(a - b < 0\), то \(a < b\),
- если \(a - b > 0\), то \(a > b\).
Использованные приемы:
- квадрат суммы двух выражений:
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);
- квадрат разности двух выражений:
\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\);
- распределительное свойство умножения:
\(k(a+b) = ka + kb\);
- противоположные выражения:
\(-(a - b) = b - a\).
№1015 учебника 2013-2022 (стр. 223):
а) \(45 \cdot 10^{3} =4,5 \cdot 10^1 \cdot 10^{3}=\)
\(=4{,}5 \cdot 10^{4}\);
б) \(117 \cdot 10^{5} =1,17 \cdot 10^2 \cdot 10^{5}=\)
\(=1{,}17 \cdot 10^{7}\);
в) \(0{,}74 \cdot 10^{6} =7,4 \cdot 10^{-1} \cdot 10^{6}=\)
\(=7{,}4 \cdot 10^{5}\);
г) \(0{,}06 \cdot 10^{5} =6 \cdot 10^{-2} \cdot 10^{5}=\)
\(=6 \cdot 10^{3}\).
Пояснения:
Число в стандартном виде записывается как \(a \cdot 10^{n}\), где
\(1 \le a < 10\) и \(n\) — целое число.
Показатель степени \(n\) называется порядком числа.
Если исходное число больше \(10\), то запятую передвигаем влево, пока не останется одна цифра слева, а количество перемещений записываем как положительный показатель степени с основанием \(10\).
Если число меньше \(1\), то запятую передвигаем вправо до первой значащей цифры, а количество перемещений записываем как отрицательный показатель степени с основанием \(10\).
Свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями:
\(a^n \cdot a^m = a^{n+m}\).
Вернуться к содержанию учебника