Упражнение 1330 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 287

а) \(\begin{cases}2x^{2}-xy=y^{2}+5,\\ x^{2}-xy=y^{2}+1\end{cases}\)   \((-)\)

\((2x^2 - xy) - (x^2 - xy) = (y^2 + 5) - (y^2 + 1)\)

\(2x^2 - \cancel{xy} - x^2 + \cancel{xy} = \cancel{y^2} + 5 - \cancel{y^2} - 1\)

\(x^{2}=4\)

\(x = \pm\sqrt 4\)

\(x_1 = 2\),     \(x_2 = -2\).

1) \(\begin{cases} x= 2,\\ x^{2}-xy=y^{2}+1\end{cases}\)

\(\begin{cases} x= 2,\\ 2^{2}-2y=y^{2}+1\end{cases}\)

\(2^{2}-2y=y^{2}+1\)

\(4 - 2y - y^2 - 1 = 0\)

\(-y^2 - 2y + 3 = 0\)    \(/\times (-1)\)

\(y^2 + 2y - 3 = 0\)

\(a= 1\),  \( b = 2\),  \(c = -3\)

\(D = b^2 - 4ac = \)

\(=2^2 - 4\cdot1\cdot(-3) = \)

\(=4 + 12 = 16 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt D = 4\).

\(x_1 = \frac{-2+4}{2\cdot1} = \frac22 = 1\).

\(x_2 = \frac{-2-4}{2\cdot1} = \frac{-6}{2} = -3\).

2) \(\begin{cases} x= -2,\\ x^{2}-xy=y^{2}+1\end{cases}\)

\(\begin{cases} x= -2,\\ (-2)^{2}-(-2)y=y^{2}+1\end{cases}\)

\((-2)^{2}-(-2)y=y^{2}+1\)

\(4 + 2y - y^2 - 1 =0\)

\(-y^2 + 2y + 3 = 0\)     \(/\times (-1)\)

\(y^2 - 2y - 3 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -2\),  \(c = -3\)

\(D = (-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-3) =\)

\(=4 + 12 = 16 > 0\) - уравнением имеет 2 корня.

\(\sqrt D = 4\).

\(x_1 = \frac{2+4}{2\cdot1} = \frac62 = 3\).

\(x_1 = \frac{2-4}{2\cdot1} = \frac{-2}{2} = -1\).

Ответ: \((2,1),\ (2,-3),\)

\((-2,3),\ (-2,-1)\).

б) \(\begin{cases}3x^{2}-2y^{2}=2xy-1,\\ 2x^{2}-y^{2}=2xy-1\end{cases}\)   \((-)\)

\( \bigl(3x^{2}-2y^{2}\bigr)-\bigl(2x^{2}-y^{2}\bigr)=(2xy-1)-(2xy-1)\)

\( 3x^{2}-2y^{2}-2x^{2}+y^{2}=(2xy-1)-(2xy-1)\)

\(x^{2}-y^{2}=0 \)

\((x-y)(x+y)=0 \)

\(x-y=0\)   или   \(x + y = 0\)

\(x = y\)                   \(x = - y\)

1) \(\begin{cases}x = y,\\ 2x^{2}-y^{2}=2xy-1\end{cases}\) 

\(\begin{cases}x = y,\\ 2y^{2}-y^{2}=2yy-1\end{cases}\) 

\(2y^{2}-y^{2}=2y^2-1\)

\(2y^{2}-y^{2}-2y^2=-1\)

\(-y^2 = -1\)

\(y^2 = 1\)

\(y = \pm \sqrt1\)

\(y_1 = 1\),    \(y_2 = -1\).

\(x_1 = 1\),    \(x_2 = -1\).

2) \(\begin{cases}x = -y,\\ 2x^{2}-y^{2}=2xy-1\end{cases}\) 

\(\begin{cases}x = -y,\\ 2(-y)^{2}-y^{2}=2(-y)y-1\end{cases}\) 

\(2y^{2}-y^{2}=-2y^2-1\)

\(2y^{2}-y^{2}+2y^2=-1\)

\(3y^2 = -1\)

\(y^2 = -\frac13\) - действительных корней нет.

Ответ: \((1,1),\ (-1,-1)\).

Пояснения:

— В пункте а) вычитанием уравнений устраняем одинаковые части \(-xy\) и \(y^{2}\), получая сразу \(x^{2}=4\). Затем каждое значение \(x\) подставляется в одно из уравнений для нахождения \(y\).

— В пункте б) разность уравнений приводит к \(x^{2}-y^{2}=0\) откуда по формуле разности квадратов имеем \((x-y)(x+y)=0\), что разбивает систему на два линейных случая: \(x=y\) и \(x=-y\). Первый даёт \(x^{2}=1\), второй не имеет действительных решений.