Упражнение 1327 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 287

а) \(\begin{cases}7xy+2x^{2}-4y^{2}=0,\\ x^{2}-5xy+y=-11;\end{cases}\)

\(7xy+2x^{2}-4y^{2}=0\)

\(2x^2 + 7xy - 4y^2 = 0\) - квадратное уравнение относительно \(x\)

\(a = 2\),  \(b = 7y\),  \(c = -4y^2\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(= (7y)^2 - 4\cdot2\cdot(-4y^2) =\)

\(=49y^2 + 32y^2 = 81y^2 > 0 \) - уравнение имеет 2 корня.

\(\sqrt D = \sqrt{81y^2} = 9y\)

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\(x_1 = \frac{-7y + 9y}{2\cdot2} = \frac{2y}{4} = \frac12y\).

\(x_2 = \frac{-7y - 9y}{2\cdot2} = \frac{-16y}{4} = -4y\).

1) Если \(x = \frac12y\), то

\((\frac12y)^{2}-5\cdot\frac12y\cdot y+y=-11\)

\(\frac14y^{2}-\frac52y^2+y=-11\)  \(/\times 4\)

\(y^2 - 10y^2 + 4y = -44\)

\(-9y^2 + 4y + 44 = 0\)

\(9y^2 - 4y - 44 = 0\)

\(a = 9\),  \(b = -4\),  \(c = -44\).

\(D = (-4)^2 - 4\cdot 9\cdot(-44) = \)

\(= 16 + 1584 = 1600 >0 \) - уравнение имеет 2 корня.

\(\sqrt D = 40\).

\(y_1 = \frac{4 +40}{2\cdot9} = \frac{44}{18} = \frac{22}{9} = 2\frac49\)

\(y_2 = \frac{4-40}{2\cdot9} = \frac{-36}{18} = -2\)

При \(y = 2\frac49\): 

\(x = \frac12 \cdot 2\frac49 = \frac{1}{\cancel2} \cdot \frac{\cancel{22}}{9}^{\color{blue}{11}} =\frac{11}{9} = 1\frac29\)

При \(y = -2\): 

\(x = \frac12 \cdot (-2) = -1\)

2) Если \(x = -4y\), то

\((-4y)^{2}-5\cdot(-4y)\cdot y+y=-11\)

\(16y^2 +20y^2 + y + 11 = 0\)

\(36y^2 + y + 11 = 0\)

\(a = 36\),  \(b = 1\),  \(c = 11\).

\(D = 1^2 - 4\cdot36\cdot11 =\)

\(=1 - 1584 = - 1583 < 0 \) - корней нет.

Ответ: \((1\frac29; 2\frac49)\), \((-1; -2)\).

б) \(\begin{cases}6x^{2}+2xy-3x-y=0,\\ 2x^{2}-y^{2}+2x+y=\dfrac{3}{2}.\end{cases}\)

\(\begin{cases}2x(3x+y)-(3x+y)=0,\\ 2x^{2}-y^{2}+2x+y=\dfrac{3}{2}.\end{cases}\)

\(\begin{cases}(3x+y)(2x-1)=0,\\ 2x^{2}-y^{2}+2x+y=\dfrac{3}{2}.\end{cases}\)

\((3x+y)(2x-1)=0\)

\(3x + y = 0\)   или   \(2x - 1 = 0\)

\(y = -3x\)                   \(x = \frac12\)

1) Если \(y=-3x\), то

\(2x^{2}-(-3x)^{2}+2x+(-3x)=\dfrac{3}{2}\)

\(2x^2 - 9x^2 + 2x - 3x = \dfrac{3}{2}\)

\(-7x^2 - x - \dfrac{3}{2} = 0\)   \(/\times(-2)\)

\(14x^2 + 2x + 3 = 0\)

\(a = 14\),  \(b = 2\),  \(c = 3\).

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=2^2 - 4\cdot14\cdot3 =\)

\(=4 - 168 = -164 < 0\) - корней нет.

2) Если \(x = \frac12\), то

\(2\cdot(\frac12)^{2}-y^{2}+2\cdot\frac12+y=\dfrac{3}{2}\)

\(\cancel2\cdot\frac{1}{\cancel4_ {\color{blue}{2}} }-y^{2}+1+y=\dfrac{3}{2}\)

\(\cancel{\frac12}-y^{2}+\cancel1+y-\cancel{\dfrac{3}{2}}=0\)

\(-y^2 + y = 0\)

\(y(-y +1=0\)

\(y = 0\)   или   \(-y + 1 = 0\)

                        \(y = 1\)

Ответ: \(\displaystyle \left(\frac12,0\right),\;\left(\frac12,1\right).\)

Пояснения:

а) Сначала первое уравнение системы решили как квадратное уравнение относительно переменной \(x\), получили два корня. Затем, подставляя полученные значения для \(x\) во второе уравнение системы, получили два квадратных уравнения относительно \(y\). В одном из уравнений получили отрицательный дискриминант, поэтому оно не имеет корней, из второго уравнения получили два корня. Следовательно, система имеет два решения.

б) Первое уравнение системы разложили на множители, применив способ группировки. Затем, учитывая то, что произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, выразили из каждого уравнения одну из переменных и, подставив, полученные значения во второе уравнение системы, нашли значения другой переменной. В результате получили два решения системы уравнений.