Упражнение 1331 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 287

Пусть скорость первого катера — \(x\) км/ч, скорость второго — \(y\) км/ч. Время в пути первого катера до встречи со вторым - \(\frac{30}{x}\) ч, второго - \(\frac{30}{y}\) ч. Второй катер отправился на 1 ч позже, значит \(\frac{30}{x} - \frac{30}{y} = 1\)

Если скорость первого катера станет \(x + 10\) км/ч с момента отправления второго катера, расстояние пройденное им с этой скоростью \(90 - x\), тогда время в пути первого катера до встречи со вторым с этой скоростью - \(\frac{90- x}{x+10}\) ч, а второго - \(\frac{90}{y}\) ч. Значит, \(\frac{90- x}{x+10} = \frac{90}{y}\).

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} \dfrac{30}{x} - \dfrac{30}{y} = 1,\\[8pt] \dfrac{90- x}{x+10} = \dfrac{90}{y} \end{cases} \)

\( \begin{cases} \dfrac{30}{x} - 1 = \dfrac{30}{y},   /\times3\\[8pt] \dfrac{90- x}{x+10} = \dfrac{90}{y} \end{cases} \)

\( \begin{cases} \dfrac{90}{x} - 3 = \dfrac{90}{y}, \\[8pt] \dfrac{90- x}{x+10} = \dfrac{90}{x} - 3 \end{cases} \)

\(\dfrac{90- x}{x+10} = \dfrac{90}{x} - 3 \)   \(/\times x(x+10)\)

\(x(90-x) = 90(x+10) - 3x(x + 10)\)

\(90x - x^2 = 90x + 900 - 3x^2 - 30x\)

\(\cancel{90x} - x^2 - \cancel{90x} - 900 + 3x^2 + 30x = 0\)

\(2x^2 + 30x - 900 = 0\)   \(/ : 2\)

\(x^2 + 15x - 450 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 15\),  \(c = -450\).

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=15^2 - 4\cdot1\cdot(-450) =\)

\(=225 + 1800 = 2025 > 0\) - уравнение имеет 2 действительных корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\),    \(\sqrt D = 45\).

\(x_1 = \frac{-15+45}{2\cdot1} =\frac{30}{2}=15.\)

\(x_2 = \frac{-15-45}{2\cdot1} =\frac{-600}{2}=-30\) - не удовлетворяет условию.

Если \(x = 15\), то

\( \dfrac{30}{y} = \dfrac{30}{15} - 1\)

\(\dfrac{30}{y} = 2 - 1\)

\(\dfrac{30}{y} = 1\)

\(y = 30\)

Ответ: скорость первого катера \(15\) км/ч, скорость второго катера  - \(30\) км/ч.

Пояснения:

Решаем задачу с помощью системы уравнений.

Вводим обозначения:

скорость первого катера — \(x\) км/ч,

скорость второго катера — \(y\) км/ч.

Чтобы найти время, нужно расстояние разделить на скорость. Учитывая то, что второй катер вышел через 1 ч после первого и догнал первый в 30 км от пристани, можем составить следующее уравнение:

\(\frac{30}{x} - \frac{30}{y} = 1\).

Если скорость первого катера станет \(x + 10\) км/ч с момента отправления второго катера, расстояние пройденное им с этой скоростью \(90 - x\), так ка за первый час первый катер пройдет \(x\) км, тогда время в пути первого катера до встречи со вторым с увеличенной скоростью - \(\frac{90- x}{x+10}\) ч, а второго - \(\frac{90}{y}\) ч. Время с момента увеличения скорости первым катером и выхода второго катера до их встречи одинаковое, поэтому можем составить следующее уравнение:

  \(\frac{90- x}{x+10} = \frac{90}{y}\).

Таким образом, по условию задачи можем составить систему из двух уравнений:

\( \begin{cases} \dfrac{30}{x} - \dfrac{30}{y} = 1,\\[8pt] \dfrac{90- x}{x+10} = \dfrac{90}{y}. \end{cases} \)

Решаем систему способом подстановки: из первого уравнения находим значение \(\dfrac{90}{y}\) и подставляем его во второе уравнение, получаем дробное рациональное уравнение с одной переменной:

\(\dfrac{90- x}{x+10} = \dfrac{90}{x} - 3 \).

Полученное уравнение сводим к квадратному уравнению:

\(x^2 + 15x - 450 = 0\),

которое имеет два корня:

\(x_1 =15\) и \(x_2 = -30\).

Но отрицательный корень не подходит, так как скорость не может быть отрицательным число.

Для положительного значения \(x\) находим соответствующее значение \(y\).

Получаем, скорость первого катера \(15\) км/ч, скорость второго катера  - \(30\) км/ч.