Упражнение 1336 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 288

Пусть вклад равен \(x\) р., а процент, выплачиваемый ежегодно — \(y\%\). Тогда через год вкладчик получит:

\( x+ \frac{xy}{100} = 2220\) р.

Если бы вклад был \(x + 200\) р., а процент \((y - 1)\%\), то через год вкладчик получил бы:

\( (x + 200) + \frac{(x + 200)(y - 1)}{100} = 2420 \) р.

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} x+ \dfrac{xy}{100} = 2220,   /\times100 \\[6pt] (x + 200) + \dfrac{(x + 200)(y - 1)}{100} = 2420 /\times100 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 100x+ xy = 222000, \\[6pt] 100(x + 200) +(x + 200)(y - 1) = 242000 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 100x+ xy = 222000, \\[6pt] 100x + 20000 +xy-x + 200y - 200 = 242000 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 100x+ xy = 222000, \\[6pt] 100x +xy-x + 200y + 19800 = 242000 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 100x+ xy = 222000, \\[6pt] (100x +xy) - x + 200y = 242000 - 19800 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 100x+ xy = 222000, \\[6pt] 222000 - x + 200y = 222200 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 100x+ xy = 222000, \\[6pt] x = 222000 + 200y - 222200 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 100x+ xy = 222000, \\[6pt] x = 200y - 200 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 100(200y - 200)+ x(200y - 200) = 222000, \\[6pt] x = 200y - 200 \end{cases} \)

\(100(200y - 200)+ (200y - 200)y = 222000\)

\(20000y - 20000 + 200y^2 - 200y - 222000=0\)

\(200y^2 + 19800y - 242000=0\)  \(/ :200\)

\(y^2  + 99y - 1210 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 99\),  \(c = -1210\)

\(D = b^2 - 4ac = \)

\(=(-99)^2 - 4\cdot1\cdot(-1210)=\)

\(=9801 + 4840 =14641 > 0 \) - уравнение имеет 2 корня.

\(y_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt D = 121\)

\(y_1 = \frac{-99 + 121}{2\cdot1} = \frac{22}{2} = 11\).

\(y_2 = \frac{-99 - 121}{2\cdot1} = -\frac{220}{2} = -110\) - не удовлетворяет условию.

Если \(y = 11\), то

\(x = 200\cdot11 - 200 = \)

\(=2200 - 200 = 2000\)

Ответ: сумма вклада — 2000 р., процент банка — 11% годовых.

Пояснения:

Применяется формула сложных процентов за один год: \( S = P + \frac{Pm}{100}, \) где \(S\) — конечная сумма, \(P\) — вклад, \(m\) — процент.

Система составлена из двух случаев, зависящих от изменения вклада и процента. Решили систему способом подстановки.