Упражнение 1340 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 288

Пусть скорость легкового автомобиля равна \(x\) км/ч, а грузового — \(y\) км/ч.

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} \dfrac{360}{y}-\dfrac{360}{x}=2,  /\times xy\\[4mm] \dfrac{360}{y+30}-\dfrac{360}{x+30}=1 /\times (y+30)(x+30) \end{cases} \)

\( \begin{cases} 360x-360y= 2xy   / : 2 \\[4mm] 360(x+30)-360(y+30)=(y+30)(x+30) \end{cases} \)

\( \begin{cases} 180x-180y= xy \\[2mm] 360x+\cancel{10800}-360y-\cancel{10800}=xy+30y+30x+900 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 180x-180y= xy \\[2mm] 360x-360y=xy+30y+30x+900 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 180x-180y= xy \\[2mm] 360x-360y-30y-30x-900=xy \end{cases} \)

\( \begin{cases} 180x-180y= xy \\[2mm] 330x-390y-900=xy \end{cases} \)

\( \begin{cases} 180x-180y= xy \\[2mm] 330x-390y-900=180x-180y \end{cases} \)

\( \begin{cases} 180x-180y= xy \\[2mm] 330x-390y-900-180x+180y = 0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 180x-180y= xy \\[2mm] 150x-210y-900 = 0     / :30 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 180x-180y= xy \\[2mm] 5x-7y-30 = 0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 180x-180y= xy \\[2mm] 5x=7y+30   / :5 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 180\cdot\dfrac{7y+30}{5}-180y= \dfrac{7y+30}{5}y \\[2mm] x=\dfrac{7y+30}{5} \end{cases} \)

\(180\cdot\dfrac{7y+30}{5}-180y= \dfrac{7y+30}{5}y\)  \(/\times5\)

\(180(7y+30)-900y= (7y+30)y\) 

\(1260y+5400-900y=7y^2+30y\)

\(360y+5400=7y^2+30y\)

\(7y^2+30y-360y-5400=0\)

\(7y^2-330y-5400=0\)

\(a=7\),  \(b=-330\),  \(c = -5400\)

\(D =(-330)^2 - 4\cdot7\cdot(-5400)=\)

\(=108900 + 151200 = 260100\)

\(y_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt D = 510\)

\(y_1 = \frac{330 + 510}{2\cdot7} = \frac{840}{14} = 60\).

\(y_2 = \frac{330 - 510}{2\cdot7} = -\frac{180}{14} < 0\) - не удовлетворяет условию.

Если \(y = 60\), то

\(x=\dfrac{7\cdot60+30}{5}=\frac{450}{5}=90\)

Ответ: скорость легкового автомобиля равна \(90\) км/ч, а грузового - \(60\) км/ч.

Пояснения:

Время на путь: \(t=\dfrac{S}{v}\). Разность времён даёт первое уравнение; при увеличении скоростей на \(30\) км/ч получаем второе. Составляем из уравнений систему и решаем ее методом подстановки. После подстановки и упрощения получаем квадратное уравнение. Только положительный корень имеет смысл, так как скорость не может быть отрицательным числом.