Упражнение 266 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

1 вариант решения:

\(y = \frac{k}{x}\quad(k\neq0)\) - графиком является гипербола.

\(y = ax + b\) - графиком является прямая. 

могут пересекаться только в 1 точке.

могут пересекаться только в 2 точках.

в) не могут пересекаться в 3 точках.

2 вариант решения:

Для нахождения точек пересечения решим уравнение

\(\frac{k}{x} = ax + b,\quad x\neq0\ \)      \(|\times x\)

\(k = ax^2 + bx\)

\[ax^2 + bx - k = 0\]

\(D = b^2 + 4ak.\)

а) Пересечение в одной точке возможно, если \(D = 0.\)

Так как квадратное уравнение имеет единственный действительный корень.

б) Пересечение в двух точках происходит, если \(D > 0.\)

Так как квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.

в) Пересечение в трёх точках невозможно, поскольку квадратное уравнение не может иметь более двух корней.

Пояснения:

1. Переход к квадратному уравнению:

Приравнивание \(\frac{k}{x}\) и \(ax+b\) и домножение на \(x\neq0\) дают уравнение второй степени.

2. Дискриминант и число решений:

Формула для дис­криминанта:

\(D = B^2 - 4AC\), где \(A=a\), \(B=b\), \(C=-k\).

Тогда:

\(D = b^2 - 4\cdot a\cdot(-k) = b^2 + 4ak.\)

Если \(D>0\), два пересечения; \(D=0\), одно (касательная); \(D<0\), нет пересечений.

1) \(36 = \dfrac{36}{1}\)

2) \(-45 = \dfrac{-45}{1}\)

3) \(4{,}2 = \dfrac{42}{10} = \dfrac{21}{5}\)

4) \(-0{,}8 = \dfrac{-8}{10} = \dfrac{-4}{5}\)

5) \(15\dfrac{1}{6} = \dfrac{91}{6}\)

6) \(-\dfrac{2}{9} = \dfrac{-2}{9}\).

Пояснения:

Чтобы записать число в виде дроби с наименьшим знаменателем, нужно перевести десятичные дроби в обыкновенные и сократить дроби, если возможно.

Для смешанных чисел нужно перевести их в неправильные дроби и сократить дроби, если возможно.