Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№315 учебника 2023-2025 (стр. 76):
Решите уравнение:
а) \(80 + y^2 = 81\);
б) \(19 + c^2 = 10\);
в) \(20 - b^2 = -5\);
г) \(3x^2 = 1{,}47\);
д) \(\dfrac{1}{4}a^2 = 10\);
е) \(-5y^2 = 1{,}8\).
№315 учебника 2013-2022 (стр. 77):
Найдите натуральные значения \(n\), при которых значение выражения \(\sqrt{n^2 + 39}\) является двузначным числом.
№315 учебника 2023-2025 (стр. 76):
Вспомните:
№315 учебника 2013-2022 (стр. 77):
Вспомните:
№315 учебника 2023-2025 (стр. 76):
а) \(80 + y^2 = 81 \)
\(y^2 = 81 - 80\)
\(y^2 = 1 \)
\(y_1 = -\sqrt{1}\) и \(y_2 = \sqrt{1}\)
\(y_1 = -1\) \(y_2 = 1\)
Ответ: \(y_1 = -1\) и \(y_2 = 1\).
б) \(19 + c^2 = 10 \)
\(c^2 = 10 - 19\)
\(c^2 = -9 \)
Ответ: решений нет, так как \(-9 < 0\).
в) \(20 - b^2 = -5 \)
\(b^2 = 20 + 5\)
\(b^2 = 25 \)
\(b_1 = -\sqrt{25}\) и \(b_2 = \sqrt{25}\)
\(b_1 = -5\) \(b_2 = 5\)
Ответ: \(b_1 = -5\) и \(b_2 = 5\).
г) \(3x^2 = 1{,}47 \)
\(x^2 = \frac{1{,}47}{3} \)
\(x^2 = 0{,}49 \)
\(x_1 = -\sqrt{0,49}\) и \(x_2 = \sqrt{0,49}\)
\(x_1 = - 0{,}7\) \(x_2 = - 0{,}7\)
Ответ: \(x_1 = - 0{,}7\) и \(x_2 = - 0{,}7\).
д) \(\dfrac{1}{4}a^2 = 10 \) /\(\times4\)
\(a^2 = 40 \)
\(a_1 = - \sqrt{40}\) и \(a_2 = \sqrt{40}\)
Ответ: \(a_1 = - \sqrt{40}\) и \(a_2 = \sqrt{40}\).
е) \(-5y^2 = 1{,}8 \)
\(y^2 = \frac{1{,}8}{-5} \)
\(y^2 = -0{,}36 \)
Ответ: решений нет, так как \(-0,36< 0\).
Пояснения:
Правила:
Уравнение вида \(x^2 = a\) имеет два корня \(x_1 = - \sqrt{a}\) и \(x_2 = \sqrt{a}\), если \(a \geq 0\); не имеет решений, если \(a < 0\).
Линейное уравнение \(ax=b\) при \(a \neq 0\) имеет единственный корень \(x = \frac{b}{a}\).
Также учитываем то, что корни уравнения не изменяются, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.
№315 учебника 2013-2022 (стр. 77):
Пусть \(\sqrt{n^2 + 39} = x\),
где \(x\) - натуральное двузначное число.
\(n^2 + 39 = x^2\)
\(x^2 - n^2 = 39\)
\((x-n)(x+n) = 39\)
1) \(1\cdot39 = 39\)
\(\begin{cases} x-n = 1, \\ x+n=39 \end{cases}\) \((+)\)
\(\begin{cases} 2x = 40, / :2 \\ n=39 - x \end{cases}\)
\(\begin{cases} x = 20, \\ n=39 - 20 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x = 20 - двузначное\; число, \\ n=19 - натуральное\; число. \end{cases}\)
2) \(39\cdot1 = 39\)
\(\begin{cases} x-n = 39, \\ x+n=1 \end{cases}\) \((+)\)
\(\begin{cases} 2x = 40, / :2 \\ n=1 - x \end{cases}\)
\(\begin{cases} x = 20, \\ n=1 - 20 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x = 20 - двузначное\; число, \\ n=-19 - не\; является\; натуральным. \end{cases}\)
3) \(3\cdot13 = 39\)
\(\begin{cases} x-n = 3, \\ x+n=13 \end{cases}\) \((+)\)
\(\begin{cases} 2x = 16, / :2 \\ n=13 - x \end{cases}\)
\(\begin{cases} x = 8, \\ n=13 - 8 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x = 8 - однозначное\; число, \\ n=5 - натуральное\; число. \end{cases}\)
4) \(13\cdot3 = 39\)
\(\begin{cases} x-n = 13, \\ x+n=3 \end{cases}\) \((+)\)
\(\begin{cases} 2x = 16, / :2 \\ n=3 - x \end{cases}\)
\(\begin{cases} x = 8, \\ n=3 - 8 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x = 8 - однозначное\; число, \\ n=-5 - не\; является\; натуральным \end{cases}\)
5) \(-1\cdot(-39) = 39\)
\(\begin{cases} x-n = -1, \\ x+n=-39 \end{cases}\) \((+)\)
\(\begin{cases} 2x = -40, / :2 \\ n=-39 - x \end{cases}\)
\(\begin{cases} x = -20,\\ n=-39 - (-20) \end{cases}\)
\(\begin{cases} x = -20 - не\; является\; натуральным,\\ n=-19 - не\; является\; натуральным. \end{cases}\)
6) \(-39\cdot(-1) = 39\)
\(\begin{cases} x-n = -39, \\ x+n=-1 \end{cases}\) \((+)\)
\(\begin{cases} 2x = -40, / :2 \\ n=-1 - x \end{cases}\)
\(\begin{cases} x = -20,\\ n=-1 - (-20) \end{cases}\)
\(\begin{cases} x = -20 - не\; является\; натуральным,\\ n=19 - натуральное\; число. \end{cases}\)
7) \(-3\cdot(-13) = 39\)
\(\begin{cases} x-n = -3, \\ x+n=-13 \end{cases}\) \((+)\)
\(\begin{cases} 2x = -16, / :2 \\ n=-13 - x \end{cases}\)
\(\begin{cases} x = -8, \\ n=-13 -(- 8) \end{cases}\)
\(\begin{cases} x = -8 - не\; является\; натуральным, \\ n=-5 - не\; является\; натуральным \end{cases}\)
8) \(-13\cdot(-3) = 39\)
\(\begin{cases} x-n = -13, \\ x+n=-3 \end{cases}\) \((+)\)
\(\begin{cases} 2x = -16, / :2 \\ n=-3 - x \end{cases}\)
\(\begin{cases} x = -8, \\ n=-3 -(- 8) \end{cases}\)
\(\begin{cases} x = -8 - не\; является\; натуральным, \\ n=5 - натуральное\; число \end{cases}\)
Ответ: при \(n = 19\).
Пояснения:
Сначала вводим обозначения:
\(\sqrt{n^2 + 39} = x\),
где \(x\) - натуральное двузначное число, так как значение арифметического квадратного корня может быть только неотрицательным числом.
Затем обе части равенства возводим в квадрат, получаем:
\(n^2 + 39 = x^2\), откуда
\(x^2 - n^2 = 39\).
Применив в левой части равенства формулу разности квадратов, получаем:
\((x-n)(x+n) = 39\).
Существует 8 способов разложения числа \(39\) на множители, исходя из этого, составляем системы уравнений с двумя переменными, решив которые способом сложения, получим только одно натуральное \(n = 19\), при котором \(\sqrt{n^2 + 39} = 20\) - натуральное двузначное число.
Вернуться к содержанию учебника