Вернуться к содержанию учебника
Каким из множеств \(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}\) и \(\mathbb{R}\) принадлежит:
а) \(6\);
б) \(-1{,}98\);
в) \(0{,}5(87)\);
г) \(\pi\)?
Вспомните числовые множества.
а) \(6 \in \mathbb{N},\; 6 \in \mathbb{Z},\; 6 \in \mathbb{Q},\; 6 \in \mathbb{R}.\)
б) \(-1,98 \notin \mathbb{N},\; -1,98 \notin \mathbb{Z},\)
\(-1{,}98 \in \mathbb{Q},\; -1{,}98 \in \mathbb{R}.\)
в) \(0{,}5(87) \notin \mathbb{N},\; 0{,}5(87) \notin \mathbb{Z},\)
\(0{,}5(87) \in \mathbb{Q},\; 0{,}5(87) \in \mathbb{R}.\)
г) \(\pi \notin \mathbb{N},\; \pi \notin \mathbb{Z},\; \pi \notin \mathbb{Q},\; \pi \in \mathbb{R}.\)
Пояснения:
Основные понятия:
\(\mathbb{N}\) — множество натуральных чисел: \[1, 2, 3, \dots\]
\(\mathbb{Z}\) — множество целых чисел: \[\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\]
\(\mathbb{Q}\) — множество рациональных чисел, представимых в виде дроби \(\frac{p}{q}\), где \(p, q \in \mathbb{Z}, q \neq 0\).
\(\mathbb{R}\) — множество всех действительных чисел.
Иерархия множеств: \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\), то есть множество натуральных чисел содержится в множестве целых чисел, множество целых чисел содержится в множестве рациональных чисел, а множество рациональных чисел содержится в множестве действительных чисел, значит:
всякое натуральное число является целым, рациональным, действительным,
всякое целое число является рациональным, действительным, но не всякое целое число является натуральным,
всякое рациональное число является действительным, но не всякое рациональное число является целым, натуральным,
множество действительных чисел составляют множество рациональных и множество рациональных чисел, поэтому любое число всегда является действительным, но не всегда является рациональным.
Пояснение к пункту а):
Число \(6\) — натуральное, значит оно также целое, рациональное и действительное.
Пояснение к пункту б):
\(-1{,}98\) — конечная десятичная дробь, значит это рациональное число. Оно не является целым и не является натуральным, но входит в \(\mathbb{R}\).
Пояснение к пункту в):
Запись \(0{,}5(87)\) означает периодическую десятичную дробь. Все периодические дроби — рациональные.
Следовательно, число принадлежит \(\mathbb{Q}\) и соответственно \(\mathbb{R}\).
Пояснение к пункту г):
\(\pi\) — иррациональное число, оно не может быть выражено в виде дроби \(\frac{p}{q}\), значит \(\pi \notin \mathbb{Q}\).
Все иррациональные числа принадлежат множеству действительных: \(\pi \in \mathbb{R}\).
Вернуться к содержанию учебника