Вернуться к содержанию учебника
Выясните, каким числом (рациональным или иррациональным) является значение выражения:
а) \((\sqrt{2}+\sqrt{3})\cdot(\sqrt{2}-\sqrt{3})\);
б) \((\sqrt{2}+2\sqrt{3})\cdot(\sqrt{2}-\sqrt{3})\);
в) \(\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}\);
г) \(\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\);
д) \(\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\);
е) \(\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}\).
а) \((\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})=\)
\(= \left(\sqrt{2} \right) ^2-\left(\sqrt{3} \right) ^2= 2 - 3 = -1\)
Ответ: рациональное число.
б) \((\sqrt{2}+2\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})=\)
= \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} - \sqrt{2}\cdot\sqrt{3} +\)
\(+2\sqrt{3}\cdot\sqrt{2} - 2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=\)
= \(2 - \sqrt{6} + 2\sqrt{6} - 6 = -4 + \sqrt{6}\)
Ответ: иррациональное число.
в) \(\dfrac{1}{2+\sqrt{3}} ^{\color{red}{\backslash{2-\sqrt{3}}}}+ \dfrac{1}{2-\sqrt{3}}^{\color{red}{\backslash{2+\sqrt{3}}}}=\)
\(=\dfrac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} +\)
\(+\dfrac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=\)
\(=\dfrac{2-\sqrt{3}+2+\sqrt{3}}{ 2^2-\left(\sqrt{3} \right) ^2} =\dfrac{4}{ 4-3}=4\)
Ответ: рациональное число.
г) \(\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}^{\color{red}{\backslash{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}} - \dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}^{\color{red}{\backslash{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}} =\)
\(=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} -\)
\(-\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\)
\(=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}-(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{ \left(\sqrt{3} \right) ^2-\left(\sqrt{2} \right) ^2} =\)
\(=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{2}}{ 3-2} =2\sqrt{2}.\)
Ответ: иррациональное число.
д) \(\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}^{\color{red}{\backslash{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}}=\)
\(=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\)
\(=\dfrac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{\left(\sqrt{3} \right) ^2-\left(\sqrt{2} \right) ^2}=\)
\(=\dfrac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{\left(\sqrt{3} \right) ^2-\left(\sqrt{2} \right) ^2}= \dfrac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2}{3-2}=\)
\(=\left(\sqrt{2}\right) ^2+2\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right) ^2= \)
\(=2+2\sqrt{6}+3=5+2\sqrt{6}.\)
Ответ: иррациональное число.
е) \(\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}^{\color{red}{\backslash{\sqrt{5}+\sqrt{2}}}} + \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}^{\color{red}{\backslash{\sqrt{5}-\sqrt{2}}}}=\)
\(=\dfrac{\sqrt{5}(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})} +\)
\(+\dfrac{\sqrt{5}(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})}=\)
\(=\dfrac{\sqrt{5}(\sqrt{5}+\sqrt{2})+\sqrt{5}(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{ \left(\sqrt{5} \right) ^2-\left(\sqrt{2} \right) ^2} =\)
\(=\dfrac{\sqrt{5}(\sqrt{5}+\sqrt{2})+\sqrt{5}(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{ 5-3} =\)
\(\small{=\dfrac{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}+\sqrt{5}\cdot\sqrt{2}+\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}-\sqrt{5}\cdot\sqrt{2}}{ 5-3} =}\)
\(=\dfrac{5+\sqrt{10}+5-\sqrt{10}}{ 3} =\dfrac{10}{ 3}.\)
Ответ: рациональное число.
Пояснения:
1. Формула разности квадратов:
\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2.\)
2. Формула квадрата суммы:
\((a+b)^2 = a^2 +2ab+ b^2.\)
3. Для любого неотрицательного числа \(a\) справедливо, что \(\left(\sqrt{a}\right) ^2=a.\)
4. Признак рациональности.
Если после всех преобразований корни уничтожаются, число рационально. Если остаются иррациональные корни, число иррационально.
Вернуться к содержанию учебника