Вернуться к содержанию учебника
Найдите \( \dfrac{a}{b} \), если:
а) \( \dfrac{2a + 5b}{5a + 2b} = 1 \);
б) \( \dfrac{a + 2b}{b + 2a} = -3 \);
в) \( \dfrac{99a + 8b}{4b - 100a} = 2 \).
а) \( \dfrac{2a + 5b}{5a + 2b} = 1 \)
\(2a + 5b = 5a + 2b\)
\(2a - 5a + 5b - 2b = 0\)
\(-3a + 3b = 0\)
\(a = b\)
\(\dfrac{a}{b} = 1.\)
Ответ: \(\dfrac{a}{b} = 1.\)
б) \( \dfrac{a + 2b}{b + 2a} = -3 \)
\(a + 2b = -3(b + 2a)\)
\(a + 2b = -3b - 6a\)
\(a + 6a + 2b + 3b = 0\)
\(7a + 5b = 0\)
\(7a =- 5b \) \(\color{red}|:7b\)
\(\dfrac{a}{b} = -\dfrac{5}{7}.\)
Ответ: \(\dfrac{a}{b} = -\dfrac{5}{7}.\)
в) \( \dfrac{99a + 8b}{4b - 100a} = 2 \)
\(99a + 8b = 2(4b - 100a)\)
\(99a + 8b = 8b - 200a\)
\(99a + 200a + 8b - 8b = 0\)
\(299a = 0\)
\(a = 0\)
\(\dfrac{a}{b} = 0.\)
Ответ: \(\dfrac{a}{b} = 0.\)
Пояснения:
1. Пропорции и равенство дробей.
Если дана дробь вида \( \frac{P(a,b)}{Q(a,b)} = k \), то можно умножить обе части на знаменатель и получить:
\[ P(a,b) = k \cdot Q(a,b). \]
Это приводит к линейному уравнению относительно \(a\) и \(b\).
2. Цель — найти отношение \( \frac{a}{b} \).
Из каждого уравнения получается связь вида:
\[ p a + q b = 0, \]
что легко преобразуется к виду:
\[ \frac{a}{b} = -\frac{q}{p}. \]
3. Подробность по каждому пункту.
а) Получили уравнение \(3a = 3b\), откуда следует \(a = b\). Отношение равно 1.
б) Линейное уравнение \(7a + 5b = 0\) даёт отношение \(\dfrac{a}{b} = -\dfrac{5}{7}\).
в) Получилось \(299a = 0\), то есть \(a = 0\). Тогда \(\dfrac{a}{b} = 0\).
Вернуться к содержанию учебника