Вернуться к содержанию учебника
Выясните, каким числом (рациональным или иррациональным) является значение выражения:
а) \(\dfrac{\sqrt{72}}{\sqrt{50}}\);
б) \((\sqrt{24}-\sqrt{54})\cdot \sqrt{12}\);
в) \((3-\sqrt{5})^2 + (3+\sqrt{5})^2\);
г) \((\sqrt{13}+\sqrt{8})^2\).
а) \(\dfrac{\sqrt{72}}{\sqrt{50}} = \sqrt{\dfrac{72}{50}} = \sqrt{\dfrac{36}{25}} = \dfrac{6}{5}\)
Ответ: рациональное число.
б) \((\sqrt{24}-\sqrt{54})\cdot \sqrt{12} =\)
\(=\sqrt{24}\cdot\sqrt{12}-\sqrt{54}\cdot \sqrt{12} =\)
\(=\sqrt{24\cdot12}-\sqrt{54\cdot12} =\sqrt{288} - \sqrt{648} =\)
\(=12\sqrt{2} - 18\sqrt{2} = -6\sqrt{2}\)
Ответ: иррациональное число.
в) \((3-\sqrt{5})^2 + (3+\sqrt{5})^2=\)
\( = 9 \cancel{- 6\sqrt{5}} + 5 + 9 + \cancel{6\sqrt{5}} + 5 =28\)
Ответ: рациональное число.
г) \((\sqrt{13}+\sqrt{8})^2 = 13 + 8 + 2\sqrt{104} =\)
\(=21 + 4\sqrt{26}.\)
Ответ: иррациональное число.
Пояснения:
Свойство корней:
\[ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}. \]
Использовано в пункте (а).
\[ \sqrt{a}\cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}. \]
Применено в пункте (б).
Формула квадрата суммы и разности:
\( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
Использовано в пунктах (в), (г).
Рациональные и иррациональные числа.
Результат является рациональным, если после всех преобразований нет квадратных корней; если присутствуют корни — число иррациональное.
Вернуться к содержанию учебника