Упражнение 77 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 28

\(S_1=\pi r^2\) - начальная площадь.

\(S_2=\pi (2r-1)^2\) - начальная площадь.

Запишем уравнение:

\(\pi(2r - 1)^2 - \pi r^2 = \pi\)    \(\color{red}|:\pi\)

\((2r - 1)^2 - r^2 = 1\) 

\(4r^2 - 4r + 1 - r^2 = 1\)

\(3r^2 - 4r + 1 = 1\)

\(3r^2 - 4r = 0\)

\(r(3r - 4) = 0\)

\(r= 0\) или \(3r - 4 = 0\)

                  \(3r=4\)

                  \(r=\frac{4}{3}\)

                  \(r=1\frac{1}{3}\)

Корень \(r= 0\) не подходит, \(\Rightarrow \) \(r=1\frac{1}{3}\) см.

Ответ: \(r=1\frac{1}{3}\) см.

Пояснения:

Формула площади круга:

\[ S = \pi r^2 \]

По условию радиус сначала увеличивают в 2 раза, затем уменьшают на \(1\) см, то есть новый радиус:

\[ r_{\text{нов}} = 2r - 1 \]

Площадь увеличилась на \( \pi \), поэтому разность площадей равна \( \pi \):

\[ \pi(2r - 1)^2 - \pi r^2 = \pi \]

Делим обе части на \( \pi \):

\[ (2r - 1)^2 - r^2 = 1 \]

Далее последовательно раскрываем скобки и приводим подобные члены, что приводит нас к квадратному уравнению:

\[ 3r^2 - 4r = 0 \]

Выносим общий множитель:

\[ r(3r - 4) = 0 \]

Радиус не может быть нулём, поэтому:

\[ r =1 \frac{1}{3} \text{ см} \]