Упражнение 198 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 70

а) \(f(x)=|x^{2}-2x|\)

Нули функции:

\( x^{2}-2x=0\)

\(x(x-2) = 0\)

\(x = 0\)   или   \(x - 2 = 0\)

                       \(x = 2\)

1) Если \(x < 0\), то \(x(x-2)\ge 0\), тогда:

\( f(x)=x^{2}-2x. \)

2) Если  \(0 \le x \le 2\), то \(x(x-2)<0\), тогда:

\( f(x)=-(x^{2}-2x)= -x^{2}+2x. \)

3) Если \(x > 2\), то \(x(x-2)\ge 0\), тогда:

\( f(x)=x^{2}-2x. \)

\(f(x) = \begin{cases} x^{2}-2x, \, если \,  x \le 0,\\[2mm] -x^{2}+2x, \, если \,  0 < x < 2,\\[2mm] x^{2}-2x, \, если \,    x \ge 2 \end{cases}\)

\(y = x^{2}-2x\) - парабола.

1. \(a = 1 > 0\) - ветви параболы направлены вверх.

2. \(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2} = 1\).

\(y_0 = 1^2 - 2\cdot1 = 1 - 2 = -1\).

\((1; -1)\) - вершина параболы.

\(x = -1\) - ось симметрии параболы.

3. Нули функции: \(x = 0\) и \(x = 2\).

4. Дополнительные точки:

б) \(f(x)=x^{2}-2|x|\)

1) Если \(x\ge 0\), то

\(f(x)=x^{2}-2x. \)

2) Если \(x<0\), то

\( f(x)=x^{2}+2x. \)

\( f(x)= \begin{cases} x^{2}+2x, & x<0,\\[2mm] x^{2}-2x, & x\ge 0. \end{cases} \)

\(y = x^{2}-2x\) - парабола.

1. \(a = 1 > 0\) - ветви параболы направлены вверх.

2. \(x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2} = 1\).

\(y_0 = 1^2 - 2\cdot1 = 1 - 2 = -1\).

\((1; -1)\) - вершина параболы.

\(x = -1\) - ось симметрии параболы.

3. Нули функции: \(x = 0\) и \(x = 2\).

4. Дополнительные точки:

\(y = x^{2}+2x\) - парабола, симметричная параболе \(y = x^{2}-2x\) относительно оси \(y\).

Пояснения:

Если \(y=|f(x)|\), то согласно определению модуля:

\(|f(x)|=\begin{cases} f(x), \, если \,  f(x) \ge 0,\\ -f(x), \, если \,  f(x) < 0. \end{cases} \)

Чтобы построить график функции \(y = |f(x)|\), если известен график функции \(y = f(x)\), нужно оставить на месте ту его часть, где \(f(x) \ge 0\), и симметрично отобразить относительно оси \(x\) другую его часть, где \(f(x) < 0\).

Если \(y=f(|x|)\), то согласно определению модуля:

\(f(|x|)=\begin{cases} f(x), \, если \,  x \ge 0,\\ f(-x), \, если \,  x < 0. \end{cases} \)

Чтобы построить график функции \(y=f(|x|)\), если известен график функции \(y = f(x)\), нужно оставить на месте ту часть графика функции \(y = f(x)\), которая соответствует неотрицательной части области определения функции \(y = f(x)\). Отразив эту часть симметрично относительно оси \(y\) получим другую часть графика, соответствующую отрицательной области определения.

Для пункта а.

Чтобы построить график функции \(f(x)=|x^{2}-2x|\), сначала строим параболу \(y=x^{2}-2x\) (ту часть графика, которая расположена ниже оси \(x\), намечаем пунктиром). Затем строим недостающую часть графика путем симметрии относительно оси \(x\)  - пунктирной части.

Для пункта б.

Чтобы построить график функции \(f(x)=x^{2}-2|x|\), учитывая то, что \(|x|^2 = x^2\), сначала строим параболу \(y=x^{2}-2x\) (ту часть графика, которая расположена левее оси \(y\), не строим). Затем путем симметрии относительно оси \(y\) строим недостающую часть графика.