Упражнение 215 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 77

Пусть исходное ребро куба равно \(x\) см, тогда его объем \(x^3\) см³. Новый куб имеет ребро \(x + 3\), тогда его объем \((x+3)^3\) см³. Известно, что объем нового куба на \(513\) см³ больше.

Составим уравнение:

\((x + 3)^{3} - x^{3} = 513\)

\(\cancel{x^{3}} + 9x^{2} + 27x + 27 - \cancel{x^{3}} = 513\)

\(9x^{2} + 27x + 27 = 513\)

\(9x^{2} + 27x + 27 - 513 = 0\)

\(9x^{2} + 27x - 486 = 0\)   \(/ : 9\)

\(x^{2} + 3x - 54 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 3\),  \(c = -54\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-54) =\)

\(= 9 + 216 = 225.\)

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt{D} = 15.\)

\(x_1 = \frac{-3 + 15}{2\cdot1} = \frac{12}{2} = 6.\)

\(x_2 = \frac{-3 - 15}{2\cdot1} = \frac{-18}{2} = -9\) - не удовлетворяет условию.

Ответ: ребро куба равно \(6\) см.

Пояснения:

1. Формула объёма куба:

\[V = a^{3},\]

где \(a\) — длина ребра.

2. При увеличении ребра на 3 см новый объём равен:

\[(x + 3)^{3}.\]

3. Условие задачи означает разность объёмов:

\[(x + 3)^{3} - x^{3} = 513.\]

4. Используем формулу куба суммы:

\[(a + b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}.\]

Подставив \(a=x\) и \(b=3\), получили выражение \(x^{3} + 9x^{2} + 27x + 27\).

5. После сокращения и переноса получили квадратное уравнение, которое решается по дискриминанту.

6. Второй корень отрицательный, а длина ребра не может быть отрицательной, поэтому верный ответ один: \(x = 6\).