Упражнение 219 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 77

а) \(x^{3} + 7x^{2} - 6 = 0\)

\(x^{3} + x^{2} + 6x^{2} - 6 = 0\)

\(x^{2}(x + 1) + 6(x^{2} - 1) = 0\)

\(x^{2}(x + 1) + 6 (x - 1)(x+ 1) =0\)

\((x+1)(x^2 +6(x-1))=0\)

\((x+1)(x^2 +6x-6)=0\)

или  \(x + 1 = 0\)

        \(x = -1\)

 или  \(x^2 +6x-6=0\)

\(a = 1\),  \(b =6\),  \(c = -6\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=6^2 - 4\cdot1\cdot(-6)=\)

\(=36 + 24 = 60 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(\sqrt D = \sqrt{60}=\sqrt {4\cdot15} = 2\sqrt{15}.\)

\(x_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}=\)

\(= \frac{-6 \pm 2\sqrt {15}}{2\cdot1}=\frac{\cancel2(-3 \pm \sqrt {15})}{\cancel2}=\)

\(=-3 \pm \sqrt {15}\).

Ответ: \(x = -1\), \(x=-3 + \sqrt {15}\),

\(x=-3 - \sqrt {15}\).

б) \(x^{3} + 4x^{2} - 5 = 0\)

\(x^{3} - x^{2}+ 5x^{2} - 5 = 0\)

\(x^{2}(x - 1)+ 5(x^{2} - 1) = 0\)

\(x^{2}(x - 1)+ 5(x - 1)(x+1) = 0\)

\((x - 1)(x^{2}+ 5(x+1)) = 0\)

\((x - 1)(x^{2}+ 5x+5) = 0\)

или  \(x - 1 = 0\)

       \(x = 1,\)

или  \(x^{2}+ 5x+5 = 0\)

\(a = 1\),  \(b =5\),  \(c = 5\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=5^2 - 4\cdot1\cdot5=\)

\(=25 - 20 = 5 > 0 \) - уравнение имеет 2 корня.

\(\sqrt D = \sqrt{5}.\)

\(x_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}=\)

\(= \frac{-5 \pm \sqrt 5}{2\cdot1}=\frac{-5 \pm \sqrt 5}{2}.\)

Ответ: \(x = 1,\; x = \dfrac{-5 + \sqrt{5}}{2},\)

\(x = \dfrac{-5 - \sqrt{5}}{2}.\)

Пояснения:

В этих уравнениях основная идея — свести выражение к произведению множителей. Для этого одночлен, содержащий \(x^2\) представляем в виде суммы двух слагаемых, так, чтобы можно было сгруппировать компоненты уравнения парами. В каждой паре выносится общий множитель, после чего появляется общий множитель для всего выражения. Также при разложении на множители применяется формула разности квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\).

Затем учитываем то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.