Вернуться к содержанию учебника
Решите уравнение:
а) \((x^{2} + 3)^{2} - 11(x^{2} + 3) + 28 = 0;\)
б) \((x^{2} - 4x)^{2} + 9(x^{2} - 4x) + 20 = 0;\)
в) \((x^{2} + x)(x^{2} + x - 5) = 84.\)
Вспомните:
а) \((x^{2} + 3)^{2} - 11(x^{2} + 3) + 28 = 0\)
Пусть \( x^{2} + 3 = y\).
\(y^{2} - 11y + 28 = 0\)
\(a = 1\), \(b = -11\), \(c = 28\)
\(D = b^2 - 4ac = \)
\(=(-11)^2 - 4 \cdot1 \cdot 28 =\)
\( = 121 - 112 = 9 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.
\(y_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt D}{2a},\) \(\sqrt D = 3\).
\(y_{1} = \dfrac{11 + 3}{2\cdot1} = \dfrac{14}{2} = 7. \)
\(y_{2} = \dfrac{11 - 3}{2\cdot1} = \dfrac{8}{2} = 4. \)
1) Если \(y = 7\), то
\(x^{2} + 3 = 7\)
\(x^{2} = 7 - 3\)
\(x^{2} = 4\)
\(x = \pm \sqrt4\)
\(x = \pm 2\)
2) Если \(y = 4\), то
\(x^{2} + 3 = 4\)
\(x^{2} = 4 - 3\)
\(x^{2} = 1\)
\(x = \pm\sqrt1\)
\(x = \pm 1\)
Ответ: \(x = -2,\; -1,\; 1,\; 2.\)
б) \((x^{2} - 4x)^{2} + 9(x^{2} - 4x) + 20 = 0\)
Пусть \(x^{2} - 4x = y\).
\(y^{2} + 9y + 20 = 0\)
\(a = 1\), \(b = 9\), \(c = 20\)
\(D = b^2 - 4ac = \)
\(= 9^2 - 4 \cdot1 \cdot 20 =\)
\( =81 - 80 = 1 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.
\(y_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt D}{2a},\) \(\sqrt D = 1\).
\(y_{1} = \dfrac{-9 + 1}{2\cdot1} = \dfrac{-8}{2} = -4. \)
\(y_{2} = \dfrac{-9 - 1}{2\cdot1} = \dfrac{-10}{2} = -5. \)
1) Если \(y = -5\), то
\(x^{2} - 4x = -5\)
\(x^{2} - 4x + 5 = 0\)
\(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 5\)
\(D = b^2 - 4ac = \)
\(=(-4)^2 - 4\cdot1\cdot5 =\)
\(=16 - 20 = -4 < 0\) — нет действительных корней.
2) Если \(y = -4\), то
\(x^{2} - 4x = -4\)
\(x^{2} - 4x + 4 = 0\)
\((x - 2)^{2} = 0\)
\(x - 2 = 0\)
\(x = 2\)
Ответ: \(x = 2.\)
в) \((x^{2} + x)(x^{2} + x - 5) = 84\)
Пусть \(x^{2} + x=y\).
\(y(y - 5) = 84\)
\(y^{2} - 5y - 84 = 0\)
\(a = 1\), \(b = -5\), \(c = -84\)
\(D = b^2 - 4ac = \)
\(=(-5)^2 - 4\cdot1\cdot(-84) =\)
\(=25 + 336 =361 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.
\(y_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt D}{2a},\) \(\sqrt D = 19\).
\(y_{1} = \dfrac{5 + 19}{2\cdot1} = \dfrac{24}{2} = 12. \)
\(y_{2} = \dfrac{5 - 19}{2\cdot1} = \dfrac{-14}{2} = -7. \)
1) Если \(y = 12\), то
\(x^{2} + x = 12\)
\(x^{2} + x - 12 = 0\)
\(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -12\)
\(D = b^2 - 4ac = \)
\(=1^2 - 4\cdot1\cdot(-12) =\)
\(=1 + 48 =49 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.
\(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt D}{2a},\) \(\sqrt D = 7\).
\(x_{1} = \dfrac{-1 + 7}{2\cdot1} = \dfrac{6}{2} = 3. \)
\(x_{2} = \dfrac{-1 - 7}{2\cdot1} = \dfrac{-8}{2} = -4. \)
2) Если \(y = -7\), то
\(x^{2} + x = -7\)
\(x^{2} + x + 7 = 0\)
\(a = 1\), \(b = 1\), \(c = 7\)
\(D = b^2 - 4ac = \)
\(=1^2 - 4\cdot1\cdot7 =\)
\(=1 - 28 = -27 < 0\) — нет действительных корней.
Ответ: \(x = -4,\; x = 3.\)
Пояснения:
В этих уравнениях неоднократно встречаются одни и те же выражения в разных степенях или в произведении. Это позволяет использовать приём введения новой переменной.
Если уравнение содержит повторяющееся выражение, например \(x^{2} + 3\) или \(x^{2} - 4x\), удобно обозначить его через новую переменную:
\( y = x^{2} + 3,\)
\(y = x^{2} - 4x,\)
\(y = x^{2} + x. \)
Тогда исходное уравнение превращается в квадратное по \(y\).
Формула корней квадратного уравнения.
Для уравнения \(\;az^{2} + bz + c = 0\;\) используется формула:
\( D = b^{2} - 4ac,\)
\(z_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \)
После нахождения значений \(y\) обязательно возвращаемся к исходной переменной \(x\): решаем уравнения вида
\( x^{2} + 3 = y,\)
\(x^{2} - 4x = y,\)
\(x^{2} + x = y. \)
Эти уравнения тоже квадратные по \(x\) и решаются стандартно; при отрицательном дискриминанте действительных корней нет, такие случаи отбрасываются.
Вернуться к содержанию учебника