Упражнение 226 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 78

а) \(x^{4} - 47x^{2} - 98\)

Пусть \(x^{2} = t\).

\(t^{2} - 47t - 98 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -47\),  \(c = -98\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-47)^2 - 4\cdot1\cdot (-98) =\)

\(=2209 + 392 = 2601 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),    \(\sqrt{D} = 51.\)

\( t_{1} = \frac{47 + 51}{2\cdot1} = \frac{98}{2} = 49.\)

\( t_{2} = \frac{47 - 51}{2\cdot1} = \frac{-4}{2} = -2.\)

\(t^{2} - 47t - 98 = (t - 51)(t + 2)\).

\(t = x^{2}\), тогда

\(x^{4} - 47x^{2} - 98 = \)

\(=(x^{2} - 49)(x^{2} + 2) =\)

\(=(x - 7)(x + 7)(x^2 + 2)\).

б) \(x^{4} - 85x^{2} + 1764\)

Пусть \(x^{2} = t\):

\(t^{2} - 85t + 1764 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -85\),  \(c = 1764\)

\(D =b^2 - 4ac =\)

\(=(-85)^2 - 4\cdot1\cdot 1764 =\)

\(=7225 - 7056 = 169 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.

\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),    \(\sqrt{D} = 13.\)

\( t_{1} = \frac{85 + 13}{2\cdot1} = \frac{98}{2} = 49.\)

\( t_{1} = \frac{85 - 13}{2\cdot1} = \frac{72}{2} = 36.\)

\(t^{2} - 85t + 1764 = (t - 49)(t - 36).\)

\(t = x^{2}\), тогда

\(x^{4} - 85x^{2} + 1764 =\)

\((x^{2} - 49)(x^{2} - 36)=\)

\(=(x - 7)(x + 7)(x - 6)(x + 6).\)

Пояснения:

В обоих трёхчленах степени переменной только четные (\(x^{4}, x^{2}\)), поэтому это биквадратные трёхчлены. Их удобно свести к обычным квадратным подстановкой:

\[x^{2} = t.\]

Тогда, исходный многочлен превращается в квадратный трёхчлен по \(t\).

Если трехчлен вида \[t^{2} + bt + c\] имеет корни, то его можно разложить на множители по формуле:

\((t - t_{1})(t - t_{2})\),

где \(t_{1}, t_{2}\) — корни квадратного уравнения:

Корни квадратного трехчлена

\[t^{2} + bt + c\]

находим по формуле с дискриминанта:

\(D = b^{2} - 4c,\)

\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2}.\)

После нахождения разложения по \(t\) выполняем обратную замену \(t = x^{2}\). Если получаются выражения вида \(x^{2} - a^{2}\), используем формулу разности квадратов:

\[x^{2} - a^{2} = (x - a)(x + a).\]