Вернуться к содержанию учебника
Решите биквадратное уравнение:
а) \(x^{4} - 5x^{2} - 36 = 0;\)
б) \(y^{4} - 6y^{2} + 8 = 0;\)
в) \(t^{4} + 10t^{2} + 25 = 0;\)
г) \(4x^{4} - 5x^{2} + 1 = 0;\)
д) \(9x^{4} - 9x^{2} + 2 = 0;\)
е) \(16y^{4} - 8y^{2} + 1 = 0.\)
Вспомните:
а) \(x^{4} - 5x^{2} - 36 = 0\)
Пусть \(x^{2} = t \ge 0\),
\(t^{2} - 5t - 36 = 0\)
\(a = 1\), \(b = -5\), \(c = -36\)
\(D =b^2 - 4ac =\)
\(=(-5)^2 - 4\cdot1\cdot (-36) =\)
\(=25 + 144 = 169 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.
\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\), \(\sqrt{D} = 13.\)
\( t_{1} = \frac{5 + 13}{2\cdot1} = \frac{18}{2} = 9.\)
\( t_{2} = \frac{5 - 13}{2\cdot1} = \frac{-8}{2} = -4 < 0\) - не удовлетворяет условию.
Если \(t = 9 \), то
\(x^{2} = 9\)
\(x = \pm\sqrt9\)
\(x = \pm 3\)
Ответ: \(x = -3,\; x = 3.\)
б) \(y^{4} - 6y^{2} + 8 = 0\)
\(y^{2} = t \ge0\)
\(y^{2} - 6y + 8 = 0\)
\(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 8\)
\(D =b^2 - 4ac =\)
\(=(-6)^2 - 4\cdot1\cdot 8 =\)
\(=36 - 32 = 4 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.
\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\), \(\sqrt{D} = 2.\)
\( t_{1} = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4.\)
\( t_{2} = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2.\)
1) Если \(t = 4\), то
\(y^{2} = 4\)
\(y = \pm \sqrt{4}\)
\(y = \pm2\)
2) Если \(t = 2\), то
\(y^{2} = 2\)
\(y = \pm \sqrt{2}\)
Ответ: \(y = \pm \sqrt{2},\; \pm 2.\)
в) \(t^{4} + 10t^{2} + 25 = 0\)
\( t^{2} =y \ge 0\)
\(y^{2} + 10y + 25 = 0\)
\((y + 5)^{2} = 0\)
\(y + 5 = 0\)
\(y = -5 < 0\) — не удовлетворяет условию.
Ответ: нет корней.
г) \(4x^{4} - 5x^{2} + 1 = 0\)
\( x^{2} = t \ge 0\)
\(4t^{2} - 5t + 1 = 0\)
\(a = 4\), \(b = -5\), \(c = 1\)
\(D =b^2 - 4ac =\)
\(=(-5)^2 - 4\cdot4\cdot 1 =\)
\(=25 - 16 = 9 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.
\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\), \(\sqrt{D} = 3.\)
\( t_{1} = \frac{5 + 3}{2\cdot4} = \frac{8}{8} = 1.\)
\( t_{2} = \frac{5 - 3}{2\cdot4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}.\)
1) Если \(t = 1\), то
\(x^{2} = 1 \)
\( x = \pm\sqrt 1\)
\(x = \pm 1\)
2) Если \(t = \frac{1}{4}\), то
\(x^{2} = \frac{1}{4} \)
\(x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} \)
\(x = \pm \frac{1}{2}\)
Ответ: \(x = \pm 1,\; \pm \frac{1}{2}.\)
д) \(9x^{4} - 9x^{2} + 2 = 0\)
\(x^{2} = t \ge 0\)
\(9t^{2} - 9t + 2 = 0\)
\(a = 9\), \(b = -9\), \(c = 2\)
\(D =b^2 - 4ac =\)
\(=(-9)^2 - 4\cdot9\cdot 2 =\)
\(=81 - 72 = 9 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.
\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\), \(\sqrt{D} = 3.\)
\( t_{1} = \frac{9 + 3}{2\cdot9} = \frac{12}{18} = \frac23.\)
\( t_{2} = \frac{9 - 3}{2\cdot9} = \frac{6}{18} = \frac13.\)
1) Если \(t =\frac23\), то
\(x^{2} = \frac{2}{3} \)
\(x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}\)
2) Если \(t = \frac13\), то
\(x^{2} = \frac{1}{3} \)
\(x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}\)
\(x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}\)
Ответ: \(x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}},\; \pm \frac{1}{\sqrt{3}}.\)
е) \(16y^{4} - 8y^{2} + 1 = 0\)
\(y^{2} = t \ge 0\)
\(16t^{2} - 8t + 1 = 0\)
\((4t - 1)^2 = 0\)
\(4t - 1 = 0\)
\(4t = 1\)
\(t = \frac14\)
\(y^{2} = \frac{1}{4} \)
\(y = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} \)
\(y = \pm \frac{1}{2}\)
Ответ: \(y = \pm \frac{1}{2}.\)
Пояснения:
1. Биквадратное уравнение имеет вид \[ a x^{4} + b x^{2} + c = 0. \] В таких уравнениях выполняют замену
\( x^{2} = t, \) тогда \(x^4 = (x^2)^2 = t^2.\)
Тогда уравнение превращается в обычное квадратное:
\[ a y^{2} + bt + c = 0. \]
2. После нахождения значений \(t\) решают уравнения вида \[ x^{2} = t, \] оставляя только те, у которых \(t \ge 0\), ведь квадрат числа не может быть отрицательным.
3. Дискриминант показывает количество корней уравнения для переменной \(t\). Если дискриминант отрицательный или корень дает отрицательное значение \(t\) — действительных корней нет.
Вернуться к содержанию учебника