Упражнение 218 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 77

а) \(3x^{3} - x^{2} + 18x - 6 = 0\)

\(x^{2}(3x - 1) + 6(3x - 1) = 0\)

\((3x - 1)(x^{2} + 6) = 0\)

или  \(3x - 1 = 0 \)

        \(3x = 1 \)

        \(x = \frac{1}{3}\)

или  \(x^{2} + 6 = 0 \)

        \(x^{2} = -6\) — корней нет.

Ответ: \(x = \frac{1}{3}\).

б) \(2x^{4} - 18x^{2} = 5x^{3} - 45x\)

\(2x^{4} - 18x^{2} - 5x^{3} + 45x = 0\)

\((2x^{4} - 5x^{3}) + (-18x^{2} + 45x) = 0\)

\(x^{3}(2x - 5) - 9x(2x - 5) = 0\)

\((x^{3} - 9x)(2x - 5) = 0\)

\(x(x^{2} - 9)(2x - 5) = 0\)

\(x(x - 3)(x + 3)(2x - 5) = 0\)

или  \(x = 0,\)

или  \(x - 3 = 0\)

        \(x = 3,\)

или  \(x + 3 = 0\)

        \(x = -3\)

или  \(2x - 5 = 0\)

        \(2x = 5\)

        \(x = \frac52\)

        \(x = 2,5\)

Ответ: \(x = 0,\; x = 3,\)

\(x = -3,\; x = 2,5.\)

Пояснения:

1. Метод группировки.

Многочлен разбивается на две части, в каждой из которых есть общий множитель. Например, в пункте а):

\( 3x^{3} - x^{2} = x^{2}(3x - 1),\)

\(18x - 6 = 6(3x - 1). \)

Появляется общий множитель

\((3x - 1)\).

2. Вынесение за скобки.

Если уравнение удалось представить как произведение множителей, то каждый множитель приравнивается к нулю. Используется правило:

\( ab = 0,\) если \(a = 0\) или \( b = 0. \)

3. Формула разности квадратов.

В пункте б) используется разложение: \[ x^{2} - 9 = (x - 3)(x + 3). \]