Упражнение 216 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 77

Пусть второе число равно \(x\). Тогда первое число равно \(x + 5\). Известно, что куб первого числа на 3185 больше куба второго.

Составим уравнение:

\((x + 5)^{3} - x^{3} = 3185.\)

\(\cancel{x^{3}} + 15x^{2} + 75x + 125 -\cancel{x^{3}} = 3185.\)

\(15x^{2} + 75x + 125 = 3185.\)

\(15x^{2} + 75x + 125 - 3185 = 0.\)

\(15x^{2} + 75x - 3060 = 0\)   \(/ : 15\)

\(x^{2} + 5x - 204 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 5\),  \(c = -204\)

\(D = b^2 - 4 ac= \)

\(=5^{2} - 4 \cdot1 \cdot (-204) =\)

\(=25 + 816 = 841.\)

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt  D}{2a}\),    \(\sqrt{D} = 29.\)

\(x_1 = \dfrac{-5 + 29}{2\cdot1}=\dfrac{24}{2} = 12.\)

\(x_2 = \dfrac{-5 - 29}{2\cdot1}=\dfrac{-34}{2} = -17.\)

1) Если \(12\) - второе число, то

\(12 + 5= 17\) - первое число.

2) Если \(-17\) - второе число, то

\(-17 + 5= -12\) - первое число.

Ответ: числа \(12\) и \( 17\) или \(-17\) и \( -12\).

Пояснения:

Решаем задачу с помощью уравнения. Второе число обозначаем \(x\), а первое - \(x + 5\). Согласно условию, куб первого числа на 3185 больше куба второго, составляем уравнение:

\[(x+5)^3 - x^3 = 3185.\]

По формуле куба суммы:

\((a + b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}.\)

В задаче: \(a = x\), \(b = 5\). Поэтому:

\((x + 5)^{3} = x^{3} + 15x^{2} + 75x + 125.\)

После раскрытия куба суммы выражение упрощается, и кубы сокращаются:

\(15x^{2} + 75x + 125 = 3185.\)

Полученное квадратное уравнение упрощается и решается по формуле корней квадратного уравнения. Оба корня подходят, т.к. числа могут быть как положительными, так и отрицательными.