Вернуться к содержанию учебника
Решите уравнение:
а) \(\dfrac{5y^{3}-15y^{2}-2y+6}{y^{2}-9}=0;\)
б) \(\dfrac{3y^{3}-12y^{2}-y+4}{9y^{4}-1}=0;\)
в) \(\dfrac{6x^{3}+48x^{2}-2x-16}{x^{2}-64}=0;\)
г) \(\dfrac{y^{3}-4y^{2}-6y+24}{y^{3}-6y}=0.\)
Вспомните:
а) \(\dfrac{5y^{3}-15y^{2}-2y+6}{y^{2}-9}=0\)
ОДЗ: \(y^2 - 9 \ne 0\)
\(y^2 = 9\)
\(y \ne \pm3\)
\(5y^{3}-15y^{2}-2y+6=0\)
\(5y^{2}(y-3)-2(y-3)=0\)
\((y-3)(5y^{2}-2)=0\)
или \(y-3=0 \)
\(y=3\) — не является корнем.
или \( 5y^{2}-2=0\)
\(5y^{2}=2\)
\(y^{2}=\dfrac{2}{5} \)
\(y=\pm\sqrt{\dfrac{2}{5}}.\)
Ответ: \(y=\pm\sqrt{\dfrac{2}{5}}\).
б) \(\dfrac{3y^{3}-12y^{2}-y+4}{9y^{4}-1}=0\)
ОДЗ: \(9y^4 - 1 \ne0\)
\((3y^2 - 1)(3y^2 + 1) \ne0\)
\(3y^2 - 1\ne 0\) и \(3y^2 + 1 \ne0\)
\(3y^2 \ne 1\) \(3y^2 \ne -1\)
\(y^2 \ne \frac13\) \(y^2 \ne -\frac13\) - нет корней.
\(y \ne \pm\sqrt{\frac13}\)
\(3y^{3}-12y^{2}-y+4=0\)
\(3y^{2}(y-4)-1(y-4)=0\)
\((y-4)(3y^{2}-1)=0\)
или \(y - 4 = 0\)
\(y = 4;\)
или \(3y^2 - 1 = 0\)
\(3y^2 = 1\)
\(y^2 = \frac13\)
\(y = \pm\sqrt{\frac13}\) — не являются корнями.
Ответ: \(y=4.\)
в) \(\dfrac{6x^{3}+48x^{2}-2x-16}{x^{2}-64}=0\)
ОДЗ: \(x^{2}-64 \ne 0\)
\(x^{2}=64\)
\(x = \pm8\)
\(6x^{3}+48x^{2}-2x-16=0\)
\(6x^{2}(x+8)-2(x+8)=0\)
\((x+8)(6x^{2}-2) = 0\)
или \(x + 8 = 0\)
\(x = - 8\) — не является корнем.
или \(6x^{2}-2 = 0\)
\(6x^{2}=2\)
\(x^{2}=\frac26\)
\(x=\pm\sqrt{\frac13}\)
Ответ: \(x=\pm\sqrt{\frac13}.\)
г) \(\dfrac{y^{3}-4y^{2}-6y+24}{y^{3}-6y}=0\)
ОДЗ: \(y^{3}-6y \ne0\)
\(y(y^2 - 6) \ne 0\)
\(y \ne 0\) и \(y^2 - 6 = 0\)
\(y^2 = 6\)
\(y = \pm \sqrt6\)
\(y^{3}-4y^{2}-6y+24=0\)
\(y^{2}(y-4)-6(y-4)=0\)
\((y-4)(y^{2}-6)=0\)
или \(y - 4 =0\)
\(y = 4\)
или \(y^{2}-6=0\)
\(y^2 = 6\)
\(y = \pm \sqrt6\) — не являются корнями.
Ответ: \(y=4.\)
Пояснения:
Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.
Алгоритм решения уравнений:
1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;
2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение (предварительно,если возможно, разложить все знаменатели на множители);
3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
4) решить получившееся целое уравнение;
5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.
– разложили числитель и знаменатель на множители;
– нашли значения переменной, обращающие числитель в ноль;
– исключили значения, при которых одновременно знаменатель равен нулю (ОДЗ - область допустимых значений).
Для разложения многочленов на множители использовались приёмы группировки и вынесение общего множителя из группы, а также формулу разности квадратов:
\[ a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b). \]
На каждом шаге важно проверять найденные значения на принадлежность области допустимых значений, чтобы не получить решения, при которых хотя бы один знаменатель равен нулю.
Вернуться к содержанию учебника