Вернуться к содержанию учебника
Решите уравнение:
а) \(x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} - \dfrac12\!\left(x - \dfrac{1}{x}\right) = 3\dfrac12;\)
б) \(x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} - \dfrac13\!\left(x + \dfrac{1}{x}\right) = 8.\)
Вспомните:
а) \(x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} - \dfrac12\!\left(x - \dfrac{1}{x}\right) = 3\dfrac12\)
Пусть \( x - \frac{1}{x} = t, \quad x \ne 0,\) тогда
\(\left( x - \frac{1}{x}\right)^2 = t^2\)
\( x^{2} - 2\cdot \cancel x\cdot\frac{1}{\cancel x} + \frac{1}{x^{2}} = t^{2} \)
\( x^{2} - 2 + \frac{1}{x^{2}} = t^{2} \)
\(x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = t^{2} + 2 \)
\(t^{2} + 2 - \frac12 t = 3\dfrac12\)
\(t^{2} + 2 - \frac12 t = \dfrac72\) \(/\times 2\)
\( 2t^{2} + 4 - t = 7\)
\( 2t^{2} + 4 - t - 7=0\)
\(2t^{2} - t - 3 = 0\)
\(a = 2\), \(b = -1\), \(c = -3\)
\(D= b^2 - 4ac =\)
\(=(-1)^{2} - 4\cdot2\cdot(-3) =\)
\(=1 + 24 = 25>0\) - 2 корня.
\(t_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\), \(\sqrt D = 5\).
\( t_{1} = \frac{1 + 5}{2\cdot2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1,5\).
\( t_{2} = \frac{1 - 5}{2\cdot2} = \frac{-4}{4} = -1\).
1) Если \(t = 1,5\), то
\( x - \frac{1}{x} = 1,5\) \(/\times 2x\)
\( 2x^2 - 2 = 3x\)
\(2x^{2} - 3x - 2 = 0\)
\(a = 2\), \(b = -3\), \(c = -2\)
\( D =(-3)^2 - 4\cdot2\cdot(-2)=\)
\(=9 + 16 = 25 > 0\) - 2 корня.
\(x_{1} = \frac{3 + 5}{2\cdot2} = \frac{8}{4} = 2\).
\(x_{2} = \frac{3 - 5}{2\cdot2} = \frac{-2}{4} = -\frac12\).
2) Если \(t = -1\), то
\( x - \frac{1}{x} = -1\) \(/\times x\)
\( x^2 - 1 = -x\)
\( x^{2} + x - 1 = 0\)
\(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -1\)
\( D =1:2 - 4\cdot1\cdot(-1)= \)
\(=1 + 4 = 5 > 0 \)- 2 корня.
\(\sqrt D = \sqrt5\).
\(x_{1} = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}. \)
\(x_{2} = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}. \)
Ответ: \(x = 2,\; -\dfrac12,\)
\(\dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2},\; \dfrac{-1 - \sqrt{5}}{2}.\)
б) \(x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} - \dfrac13\!\left(x + \dfrac{1}{x}\right) = 8\)
Пусть \( x + \frac{1}{x} = t, \quad x \ne 0,\) тогда
\(\left( x + \frac{1}{x}\right)^2 = t^2\)
\( x^{2} + 2\cdot \cancel x\cdot\frac{1}{\cancel x} + \frac{1}{x^{2}} = t^{2} \)
\( x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}} = t^{2} \)
\(x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = t^{2} - 2 \)
\( t^{2} - 2 - \frac13 t = 8\) \(/\times 3\)
\(3t^{2} - 6 - t = 24\)
\(3t^{2} - 6 - t - 24=0\)
\(3t^{2} - t - 30 = 0\)
\(a = 3\), \(b = -1\), \(c = -30\)
\(D= b^2 - 4ac =\)
\(=(-1)^{2} - 4\cdot3\cdot(-30) =\)
\(=1 + 360 = 361>0\) - 2 корня.
\(t_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\), \(\sqrt D = 19\).
\( t_{1} = \frac{1 + 19}{2\cdot3} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} \).
\( t_{2} = \frac{1 - 19}{2\cdot3} = \frac{-18}{6} = -3 \).
1) Если \(t = \frac{10}{3} \), то
\( x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3} \) \(/\times 3x\)
\(3x^2 +3 = 10x\)
\(3x^2 - 10x + 3 = 0\)
\(a = 3\), \(b = -10\), \(c = 3\)
\(D = (-10)^2 - 4\cdot3\cdot3=\)
\(=100 - 36 = 64 > 0\) - 2 корня.
\(\sqrt D = 8\).
\(x_{1} = \frac{10 + 8}{2\cdot3} =\frac{18}{6} = 3.\)
\(x_{2} = \frac{10 - 8}{2\cdot3} =\frac{2}{6} = \frac13. \)
2) Если \(t = -3\), то
\( x + \frac{1}{x} = -3 \) \(/\times x\)
\(x^2 + 1 = -3x\)
\(x^2 + 3x + 1 = 0\)
\(a = 1\), \(b = 3\), \(c = 1\)
\(D = 3^2 - 4\cdot1\cdot1=\)
\(=9 - 4 = 5 > 0\) - 2 корня.
\(\sqrt D = \sqrt 5\).
\(x_{1} = \frac{-3 + \sqrt5}{2} .\)
\(x_{2} = \frac{-3 + \sqrt5}{2} .\)
Ответ: \(x = 3,\; \dfrac13,\; \dfrac{-3 + \sqrt{5}}{2},\)
\(\dfrac{-3 - \sqrt{5}}{2}.\)
Пояснения:
1. В обоих уравнениях встречаются выражения \(x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}}\) вместе с \(x \pm \dfrac{1}{x}\). Удобно ввести новую переменную:
- в пункте а): \(t = x - \frac{1}{x} \);
- в пункте б): \(t = x + \frac{1}{x}, \)
тогда квадратные выражения выражаются через неё по формулам:
\( (x - \tfrac{1}{x})^{2} = x^{2} - 2 + \tfrac{1}{x^{2}}, \)
\((x + \tfrac{1}{x})^{2} = x^{2} + 2 + \tfrac{1}{x^{2}}. \)
2. После подстановки получаем обычные квадратные уравнения по новой переменной \(t\). Решаем их через дискриминант, затем для каждого значения новой переменной решаем ещё одно квадратное уравнение относительно \(x\).
3. Условие \(x \ne 0\) важно, чтобы выражения \(\dfrac{1}{x}\) были определены. Все найденные корни удовлетворяют этому условию, поэтому все они входят в ответ.
Вернуться к содержанию учебника