Упражнение 243 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 84

а) \(\left(\frac{x+2}{x-4}\right)^{2}+16\left(\frac{x-4}{x+2}\right)^{2}=17;\)

Пусть \(t=\frac{x+2}{x-4}\), тогда \(\frac{x-4}{x+2}=\frac{1}{t}\).

\(t^{2}+16\cdot\frac{1}{t^{2}}=17\)    \(/\times t^{2}\)

ОДЗ:  \(t\ne0\)

\[t^{4}-17t^{2}+16=0\]

Пусть \(t^{2}=y\).

\[y^{2}-17y+16=0\]

\(a = 1\),  \(b = -17\),  \(c = 16\)

\(D=b^2 - 4ac=\)

\(=(-17)^{2}-4\cdot1\cdot16=\)

\( = 289 - 64=225>0\) - 2 корня.

\(y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),     \(\sqrt D=15.\)

\(y_{1}=\dfrac{17+15}{2\cdot1}=\frac{32}{2} = 16.\)

\(y_{2}=\dfrac{17-15}{2\cdot1}=\frac{2}{2} = 1.\)

Если \(y = 16\), то \(t^{2}=16, \Rightarrow t=\pm4\)

Если \(y = 1\), то \(t^{2}=1, \Rightarrow t=\pm1\)

1) Если \(t = 4\), то

\(\dfrac{x+2}{x-4}=4\)  \(/\times (x-4)\)

\(x+2=4(x - 4)\)

\(x+2=4x-16\)

\(x - 4x = -16 - 2\)

\(-3x=-18\)

\(x = \frac{-18}{-3}\)

\(x=6.\)

2) Если \(t = -4\)

\(\dfrac{x+2}{x-4}=-4\)  \(/\times (x-4)\)

\(x+2=-4(x-4)\)

\(x+2=-4x+16\)

\(x + 4x = 16 - 2\)

\(5x=14\)

\(x=\dfrac{14}{5}\)

\(x = 2,8.\)

3) Если \(t = 1\), то

\(\dfrac{x+2}{x-4}=1\)   \(/\times (x-4)\)

\(x + 2 = x - 4\)

\(x - x = -4 - 2\)

\(2=-4\) — неверно, корней нет.

4) \(\dfrac{x+2}{x-4}=-1\)

\(\dfrac{x+2}{x-4}=-1\)   \(/\times (x-4)\)

\(x+2=-x+4\)

\(x + x = 4 - 2\)

\(2x=2\)

\(x = \frac22\)

\(x=1.\)

Ответ: \(x=6,\;x=2,8,\;x=1.\)

б) \(\left(\frac{x+1}{x-3}\right)^{2}+18\left(\frac{x-3}{x+1}\right)^{2}=11\)

Пусть \(t=\frac{x+1}{x-3},\) тогда \(\frac{x-3}{x+1}=\frac{1}{t}\).

\(t^{2}+18\cdot\frac{1}{t^{2}}=11\)     \(/\times t^{2}\)

ОДЗ:  \(t\ne0\).

\[t^{4}-11t^{2}+18=0.\]

Пусть \(t^{2} = y\). Тогда

\(y^{2}-11y+18=0\)

\(a = 1\),  \(b = -11\),  \(c = 18\)

\(D=b^2 - 4ac=\)

\(=11^{2}-4\cdot1\cdot18=\)

\( =121 - 72=49>0\) - 2 корня.

\(y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),     \(\sqrt D=7.\)

\(y_{1}=\dfrac{11+7}{2\cdot1}=\frac{18}{2} = 9.\)

\(y_{2}=\dfrac{11-7}{2\cdot1}=\frac{4}{2} = 2.\)

Если \(y = 9\), то \(t^{2}=9,\Rightarrow t=\pm3\)

Если \(y = 2\), то \(t^{2}=2\Rightarrow t=\pm\sqrt2.\)

1) Если \(t = 3\), то

\(\dfrac{x+1}{x-3}=3\)   \(/\times (x-3)\)

\(x + 1 = 3(x-3)\)

\(x+1=3x-9\)

\(x - 3x = -9 - 1\)

\(-2x=-10\)

\(x = \frac{-10}{-2}\)

\(x=5.\)

2) Если \(t = -3\), то

\(\dfrac{x+1}{x-3}=-3\)   \(/\times (x-3)\)

\(x + 1 = -3(x - 3)\)

\(x+1=-3x+9\)

\(x + 3x = 9 - 1\)

\(4x=8\)

\(x = \frac84\)

\(x=2.\)

3) Если \(t = \sqrt2\), то

\(\dfrac{x+1}{x-3}=\sqrt2\)   \(/\times (x-3)\)

\(x+1=\sqrt2(x-3)\)

\(x+1=\sqrt2x-3\sqrt2\)

\(x-\sqrt2x=-3\sqrt2-1,\)

\(x(1-\sqrt2)=-3\sqrt2-1\)

\(x=\dfrac{-3\sqrt2-1}{1-\sqrt2} ^{\color{blue}{\backslash1+\sqrt2}}  \)

\(x=\dfrac{(-3\sqrt2-1)(1+\sqrt2)}{(1-\sqrt2)(1+\sqrt2)}\)

\(x=\dfrac{-3\sqrt2-3\sqrt2\cdot\sqrt2-1 - \sqrt2}{1-(\sqrt2)^2}\)

\(x=\dfrac{-3\sqrt2-3\sqrt2\cdot\sqrt2-1 - \sqrt2}{1-2}\)

\(x=\dfrac{-4\sqrt2-7}{-1}\)

\(x=7+4\sqrt2.\)

4) Если \(t = -\sqrt2\), то

\(\dfrac{x+1}{x-3}=-\sqrt2\)   \(/\times (x-3)\)

\(x+1=-\sqrt2(x-3)\)

\(x + 1 = -\sqrt2x + 3\sqrt2\)

\(x+\sqrt2x=3\sqrt2-1\)

\(x(1+\sqrt2)=3\sqrt2-1\)

\(x=\dfrac{3\sqrt2-1}{1+\sqrt2} ^{\color{blue}{\backslash1-\sqrt2}}  \)

\(x=\dfrac{(3\sqrt2-1)(1-\sqrt2)}{(1+\sqrt2)(1-\sqrt2)} \)

\(x=\dfrac{3\sqrt2-3\sqrt2\cdot\sqrt2-1+\sqrt2}{1-2} \)

\(x=\dfrac{4\sqrt2-7}{-1} \)

\(x=7-4\sqrt2.\)

Ответ: \(x=5,\;x=2,\)

\(x=7+4\sqrt2,\;x=7-4\sqrt2.\)

---

Пояснения:

1. В обоих уравнениях встречаются пары дробей вида \(\dfrac{x+a}{x+b}\) и \(\dfrac{x+b}{x+a}\), которые являются взаимно обратными. Поэтому удобно ввести новую переменную: \[ t=\frac{x+2}{x-4} \text{ или } t=\frac{x+1}{x-3}. \] Тогда вторая дробь превращается в \(\dfrac{1}{t}\), и уравнение содержит только \(t\) и \(\dfrac{1}{t}\). При этом не забываем об ОДЗ: знаменатели исходных дробей не должны равняться нулю.

2. После подстановки получаем уравнения вида \[ t^{2}+k\cdot\frac{1}{t^{2}}=m, \] которые сводим к биквадратным: \[ t^{4}-mt^{2}+k=0. \] Далее вводится замена \(y=t^{2}\) и через дискриминант решается обычное квадратное уравнение.

3. Для каждого найденного значения \(t\) решаем линейное дробно-рациональное уравнение относительно \(x\).

4. Все допустимые значения \(x\), полученные после обратной подстановки, и образуют множества корней уравнений в пунктах а) и б).