Вернуться к содержанию учебника
(Для работы в парах.) Решите уравнение, используя введение новой переменной:
а) \(\dfrac{12}{x^{2}-2x+3}=x^{2}-2x-1;\)
б) \(\dfrac{12}{x^{2}+x-10}-\dfrac{6}{x^{2}+x-6}=\dfrac{5}{x^{2}+x-11};\)
в) \(\dfrac{16}{x^{2}-2x}-\dfrac{11}{x^{2}-2x+3}=\dfrac{9}{x^{2}-2x+1}.\)
1) Выполните совместно задание а).
2) Распределите, кто выполняет задание б), а кто - задание в), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли решены уравнения, и исправьте ошибки, если они допущены
Вспомните:
а) \(\dfrac{12}{x^{2}-2x+3}=x^{2}-2x-1\)
Пусть \(x^{2}-2x=t\).
\(\dfrac{12}{t+3}=t-1\) \(/\times (t+3)\)
\(12=(t-1)(t+3)\)
\(12=t^{2}+2t-3.\)
\(t^{2}+2t-3-12=0\)
\(t^{2}+2t-15=0\)
\(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -15\)
\(D=b^2 - 4ac=\)
\(=2^{2}-4\cdot1\cdot(-15)=\)
\(=4 + 60=64 >0\) - 2 корня.
\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\), \(\sqrt D=8.\)
\(t_{1}=\dfrac{-2+8}{2\cdot1}=\frac{6}{2} = 3.\)
\(t_{2}=\dfrac{-2-8}{2\cdot1}=\frac{-10}{2} = -5.\)
1) Если \(t=3\), то
\(x^{2}-2x=3\)
\(x^{2}-2x-3=0\)
\(a = 1\), \(b = -2\), \(c = -3\)
\(D=(-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-3)=\)
\(=4+12=16 > 0\) - 2 корня.
\(x_1=\dfrac{2+4}{2\cdot1}=\dfrac{6}{2}=3.\)
\(x_2=\dfrac{2-4}{2\cdot1}=\dfrac{-2}{2}=-1.\)
2) Если \(t=-5\), то
\(x^{2}-2x=-5\)
\(x^{2}-2x+5=0\)
\(a = 1\), \(b = -2\), \(c = 5\)
\(D=(-2)^2 - 4\cdot1\cdot5 =\)
\(=4-20=-16 < 0\) — корней нет.
Ответ: \(x=3,\; x=-1.\)
б) \(\dfrac{12}{x^{2}+x-10}-\dfrac{6}{x^{2}+x-6}=\dfrac{5}{x^{2}+x-11}\)
Пусть \(x^{2}+x=t\).
\(\dfrac{12}{t-10} ^{\color{blue}{\backslash (t-6)(t-11)}} -\dfrac{6}{t-6} ^{\color{blue}{\backslash (t-10)(t-11)}} =\dfrac{5}{t-11} ^{\color{blue}{\backslash (t-10)(t-6)}} \) \(/\times(t-10)(t-6)(t-11)\)
ОДЗ:
\(t-10\ne0\) и \(t-6\ne0\) и \(t - 11 \ne 0\)
\(t\ne10\) \(t\ne6\) \(t \ne 11\)
\(12(t-6)(t-11)-6(t-10)(t-11) = 5(t-10)(t-6)\)
\(12(t^2 -11t-6t+66) - 6(t^2-11t-10t+110) = 5(t^2-6t-10t+60)\)
\(12(t^2 -17t+66) - 6(t^2-21t+110) = 5(t^2-16t+60)\)
\(12t^2 -204t+792 - 6t^2+126t-660 = 5t^2-80t+300\)
\(6t^2 - 78t+132 = 5t^2-80t+300\)
\(6t^2 - 78t+132 - 5t^2+80t-300=0\)
\( t^{2}+2t-168=0\)
\(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -168\)
\(D=b^2 - 4ac=\)
\(=2^{2}-4\cdot1\cdot(-168)=\)
\(=4 + 674 = 676 > 0\) - 2 корня.
\(t_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\), \(\sqrt D=26.\)
\(t_{1}=\dfrac{-2+26}{2\cdot1}=\dfrac{24}{2}=12.\)
\(t_{2}=\dfrac{-2-26}{2\cdot1}=\dfrac{-28}{2}=-14.\)
1) Если \(t=12\), то
\(x^{2}+x=12\)
\(x^{2}+x-12=0\)
\(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -12\)
\(D=1^2 - 4\cdot1\cdot12 =\)
\(=1+48=49>0\) - 2 корня.
\(\sqrt D = 7\).
\(x_1=\dfrac{-1+7}{2\cdot1}= \dfrac{6}{2}=3.\)
\(x_2=\dfrac{-1-7}{2\cdot1}= \dfrac{-8}{2}=-4.\)
2) Если \(t=-14\), то
\(x^{2}+x=-14\)
\(x^{2}+x+14=0\)
\(a = 1\), \(b = 1\), \(c =14\)
\(D=1^2 - 4\cdot1\cdot14=\)
\(=1-56=-55 <0\) — корней нет.
Ответ: \(x=3,\; x=-4.\)
в) \(\dfrac{16}{x^{2}-2x}-\dfrac{11}{x^{2}-2x+3}=\dfrac{9}{x^{2}-2x+1}\)
Пусть \(x^{2}-2x=t\).
\(\dfrac{16}{t} ^{\color{blue}{\backslash (t+3)(t+1)}} -\dfrac{11}{t+3} ^{\color{blue}{\backslash t(t+1)}} =\dfrac{9}{t+1} ^{\color{blue}{\backslash t(t+3)}} \) \(/\times t(t+3)(t+1)\)
ОДЗ:
\(t\ne0\) и \(t+3\ne0\) и \(t +1 \ne 0\)
\(t\ne-3\) \(t \ne -1\)
\(16(t+3)(t+1) - 11t(t+1)=9t(t+3)\)
\(16(t^2 + t + 3t + 3) -11t^2 - 11t = 9t^2 + 27t\)
\(16(t^2 +4t + 3) -11t^2 - 11t - 9t^2 - 27t = 0\)
\(16t^2 + 64t + 48 - 20t^2 -38t = 0\)
\(-4t^2 +26t + 48 = 0\) \(/:(-2)\)
\(2t^2 - 13t -24 = 0\)
\(a = 2\), \(b = -13\), \(c = -24\)
\(D=b^2 - 4ac=\)
\(=(-13)^{2}-4\cdot2\cdot(-24)=\)
\(=169 + 192 = 361 > 0\) - 2 корня.
\(t_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\), \(\sqrt D=19.\)
\(t_{1}=\dfrac{13+19}{2\cdot2}=\dfrac{32}{4}=8.\)
\(t_{2}=\dfrac{13-19}{2\cdot2}=\dfrac{-6}{4}=-\dfrac{3}{2}=-1,5.\)
1) Если \(t=8\), то
\(x^{2}-2x=8\)
\(x^{2}-2x-8=0\)
\(a = 1\), \(b = -2\), \(c = -8\)
\(D=(-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-8)=\)
\(=4+32=36>0\) - 2 корня.
\(\sqrt D = 6\).
\(x_1=\dfrac{2+6}{2\cdot1}= \dfrac{8}{2}= 4.\)
\(x_2=\dfrac{2-6}{2\cdot1}= \dfrac{-4}{2}= -2.\)
2) Если \(t=-1,5\), то
\(x^{2}-2x=-1,5\)
\(x^{2}-2x+1,5=0\) \(/\times 2\)
\(2x^{2}-4x+3=0\)
\(a = 2\), \(b = -4\), \(c = 3\)
\(D=(-4)^2 - 4\cdot2\cdot3 =\)
\(=16-24=-8\) — корней нет.
Ответ: \(x=4,\; x=-2.\)
Пояснения:
1. Во всех трёх уравнениях одинаковые квадратные выражения встречаются в нескольких знаменателях. Поэтому удобно ввести новую переменную:
для (а) \(t=x^{2}-2x\);
для (б) \(t=x^{2}+x\);
для (в) \(t=x^{2}-2x\).
2. После такой замены уравнение становится рациональным уравнением с одной переменной \(t\), с простыми линейными знаменателями. Далее: приводим к общему знаменателю, сокращаем, умножаем на общий знаменатель и получаем обычное квадратное уравнение по новой переменной.
3. Решаем квадратные уравнения через дискриминант. Затем возвращаемся к исходной переменной \(x\), получая снова квадратные уравнения и их корни. Если дискриминант отрицательный, то уравнения не имеют действительных корней.
Вернуться к содержанию учебника