Упражнение 240 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 83

а) \(y = x^{2} + x - 9\) и \(y = \dfrac{9}{x}\)

\( x^{2} + x - 9 = \frac{9}{x} \)    \(/\times x\)

ОДЗ: \(x \neq 0\).

\(x^{3} + x^{2} - 9x = 9 \)

\( x^{3} + x^{2} - 9x - 9 = 0\)

\(x^2(x+1) - 9(x+1) = 0\)

\((x+1) (x^2 - 9) = 0\)

\((x+1) (x - 3) (x +3) = 0\)

или \(x + 1 =0\)

       \(x = -1\)

или \(x - 3 = 0\)

       \(x = 3\)

или \(x + 3 = 0\)

       \(x = -3\)

Если \( x=-1\), то

\(y = \frac9x= \frac{9}{-1} =-9.\)

Если \( x=3\), то

\(y = \frac9x= \frac{9}{3} =3.\)

Если \( x=-3\), то

\(y = \frac9x= \frac{9}{-3} =-3.\)

Ответ: точки пересечения \((-1,-9),\,(3,3),\,(-3,-3)\).

б) \(y = x^{2} + 6x - 4\) и \(y = \dfrac{24}{x}\)

\( x^{2} + 6x - 4 = \frac{24}{x}\)    \(/\times x\)

ОДЗ: \(x\neq 0\).

\( x^{3} + 6x^{2} - 4x = 24\)

\( x^{3} + 6x^{2} - 4x - 24 = 0\)

\(x^2(x+6) -4(x+6) =0\)

\((x+6)(x^2-4) = 0\)

\(x+6)(x-2)(x+2) =0\)

или \(x + 6 =0\)

       \(x = -6\)

или \(x - 2 = 0\)

       \(x = 2\)

или \(x + 2 = 0\)

       \(x = -2\)

Если \( x=-6\), то

\( y=\frac{24}{x}=\frac{24}{-6}=-4. \)

Если \( x=2\), то

\( y=\frac{24}{x}=\frac{24}{2}=12. \)

Если \( x=-2\), то

\( y=\frac{24}{x}=\frac{24}{-2}=-12. \)

Ответ: точки пересечения \((-6,-4),\,(2,12),\,(-2,-12)\).

Пояснения:

1. Точки пересечения графиков функций находятся решением уравнения, которое получается путём приравнивания правых частей, рассматриваемых функций.

2. Полученное уравнение всегда преобразуется к многочленному: умножаем на \(x\), переносим всё влево и группируем.

3. В обоих примерах многочлены третьей степени раскладываются на множители методом группировки.

4.  После нахождения значений \(x\) подставляем их во вторую функцию (удобнее в дробь), чтобы получить координату по оси \(y\).