Упражнение 267 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 91

а) \(2x^2 + 5x + 3 > 0\)

\(y = 2x^2 + 5x + 3 \) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 2 > 0\).

\(2x^2 + 5x + 3 = 0\)

\(D = 5^2 - 4\cdot 2 \cdot 3 = \)

\(=25 - 24 = 1 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt 1 = 1\).

\(x_{1} = \dfrac{-5 - 1}{2\cdot 2} = \dfrac{-6}{4} = -\dfrac{3}{2} = -1,5\)

\(x_{2} = \dfrac{-5 + 1}{2\cdot 2} = \dfrac{-4}{4} = -1\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -1,5) \cup (-1; +\infty)\).

б) \(-x^2 - \dfrac{1}{3}x - \dfrac{1}{36}<0\)

\(y = -x^2 - \dfrac{1}{3}x - \dfrac{1}{36}\) - парабола, ветви которой направлены вниз, так как \(a = -1 < 0\).

\(-x^2 - \dfrac{1}{3}x - \dfrac{1}{36}=0\)   \(/\times (-36)\)

\(36x^2 + 12x + 1 =0\)

\(D = 12^2 - 4\cdot36 \cdot1=\)

\(=144 - 144= 0\) - 1 корень.

\(x = -\dfrac{12}{2\cdot36} = -\dfrac{12}{72} = -\frac16\)

Ответ: \(x \in (-\infty ; -\frac16) \cup ( -\frac16; +\infty)\).

Пояснения:

Решение неравенств вида

\(ax^2 + bx + c > 0\) и \(ax^2 + bx + c < 0\):

1) находим дискриминант квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\) и выясняем имеет ли трехчлен корни;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечаем их на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\); если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при \(a > 0\) или нижней при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c > 0\)) или ниже оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c < 0\)).

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

Дискриминант квадратного трехчлена

\(ax^2 + bx + c \):

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то квадратный трехчлен имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Если \(D = 0\), то квадратный трехчлен имеет 1 корень:

\(x = -\frac{b}{2a}\).

Если \(D < 0\), то квадратный трехчлен не имеет корней.