Упражнение 271 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 91

а) \(2x^2 + tx + 18 = 0\)

\(D = t^2 - 4\cdot 2 \cdot 18 = t^2 - 144\)

\(t^2 - 144 < 0\)

\(y = t^2 - 144\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(t^2 - 144 = 0\)

\(t^2 = 144\)

\(t = \pm \sqrt{144}\)

\(t = \pm 12\)

Ответ: \(t\in (-12; 12)\).

б) \(4x^2 + 4tx + 9 = 0\)

\(D = (4t)^2 - 4\cdot 4 \cdot 9 = 16t^2 - 144\)

\(16t^2 - 144 < 0\)

\(y = 16t^2 - 144\) - парабола, ветви которой направлены вверх.

\(16t^2 - 144 = 0\)

\(16t^2 = 144\)

\(t^2 = \frac{144}{16}\)

\(t^2 = 9\)

\(t = \pm \sqrt9\)

\(t = \pm3\)

Ответ: \(t\in (-3; 3)\).

Пояснения:

Основное правило:

Квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\) не имеет корней, если его дискриминант отрицателен:

\[D = b^2 - 4ac < 0.\]

Решение неравенств вида

\(ax^2 + с > 0\):

1) находим корни уравнения

\(ax^2 + c = 0\).

2) отмечаем корни уравнений на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\).

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

Чтобы найти корни уравнения \(ax^2 + c = 0\), переносим коэффициент \(c\) в правую сторону: \(ax^2  = -с\), затем делим обе части уравнения на \(a\): \(x^2  = \frac{-с}{a}\), откуда получаем

\(x_1 = -\sqrt{\frac{-c}{a}}\) и \(x_2= \sqrt{\frac{-c}{a}}\).