Упражнение 269 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 91

а) \(0{,}01x^2 \le 1 \)

\(0{,}01x^2 - 1 \le 0 \)

\(y = 0{,}01x^2 - 1\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 0,01 > 0\).

\(0,01x^2 - 1 = 0\)

\(0,01x^2 = 1\)  \(/\times 100\)

\(x^2 = 100\)

\(x = \pm \sqrt{100}\)

\(x = \pm10\)

Ответ: \(x \in [-10; 10]\).

б) \(\dfrac12 x^2 > 12 \)

\(\dfrac12 x^2 - 12 > 0 \)

\(y = \dfrac12 x^2 - 12\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = \dfrac12 > 0\).

\(\dfrac12 x^2 - 12 = 0\)

\(\dfrac12 x^2 = 12\)   \(/\times 2\)

\(x^2 = 24\)

\(x = \pm \sqrt{24}\)

\(x = \pm \sqrt{4\cdot6}\)

\(x = \pm 2\sqrt{6}\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -2\sqrt{6}) \cup (2\sqrt{6}; +\infty)\).

в) \(4x \le -x^2\)

\(4x + x^2 \le 0\)

\(y = 4x + x^2\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 1 > 0\).

\(4x + x^2 = 0\)

\(x(4 + x) = 0\)

\(x = 0\)   или   \(4 + x = 0\)

                       \(x = -4\)

Ответ: \(x \in [-4; 0]\).

г) \(\dfrac13 x^2 > \dfrac19 \)

\(\dfrac13 x^2 - \dfrac19 > 0 \)

\(y = \dfrac13 x^2 - \dfrac19\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = \frac13 > 0\).

\(\dfrac13 x^2 - \dfrac19 = 0\)

\(\dfrac13 x^2 = \dfrac19 \)    \(/\times 3\)

\(x^2 = \dfrac13 \)

\(x = \pm \sqrt{\dfrac13} \)

\(x = \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}} \)

Ответ: \(x \in \left(-\infty; -\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) \cup \left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}; +\infty\right)\).

д) \(5x^2 > 2x \)

\(5x^2 - 2x > 0\)

\(y = 5x^2 - 2x\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 5 > 0\).

\(5x^2 - 2x = 0\)

\(x(5x-2) = 0\)

\( x = 0\)   или   \(5x - 2 = 0\)

                       \(5x = 2\)

                       \(x = \dfrac{2}{5}\)

                       \(x = 0,4\)

Ответ: \(x \in (-\infty; 0) \cup (0,4; +\infty)\).

е) \(-0{,}3x < 0{,}6x^2 \)

\(-0{,}3x - 0{,}6x^2 < 0 \)

\(y = -0{,}3x - 0{,}6x^2\) - парабола, ветви которой направлены вниз, так как \(a = -0,6 < 0\).

\( -0{,}3x - 0{,}6x^2 = 0\)   \(/\times (-10)\)

\( 3x + 6x^2 = 0\)  

\(x(3 + 6x) = 0\)

\(x = 0\)   или   \(3 + 6x = 0\)

                       \(6x = -3\)

                        \(x = -\frac{3}{6}\)

                        \(x = -0,5\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -0,5) \cup (0; +\infty)\).

Пояснения:

Решение неравенств вида

\(ax^2 + bx > 0\), \(ax^2 + bx < 0\),

\(ax^2 + c > 0\), \(ax^2 + c < 0\)::

1) находим корни уравнений

\(ax^2 + bx = 0\), \(ax^2 + c = 0\).

2) отмечаем корни уравнений на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx > 0\) или \(ax^2 + c > 0\)) или ниже оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx < 0\) или \(ax^2 + c < 0\)).

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

Корни уравнения \(ax^2 + bx\) находим разложением многочлена на множители \(x(ax + b)\) и используем то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(x = 0\)  или \(ax + b = 0\), откуда \(x = -\frac{b}{a}\).

Чтобы найти корни уравнения \(ax^2 + c = 0\), переносим коэффициент \(c\) в правую сторону: \(ax^2  = -с\), затем делим обе части уравнения на \(a\): \(x^2  = \frac{-с}{a}\), откуда получаем \(x_1 = -\sqrt{\frac{-c}{a}}\) и \(x_2= \sqrt{\frac{-c}{a}}\).