Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№784 учебника 2023-2025 (стр. 161):
Докажите, что:
а) \(7^{16} + 7^{14}\) делится на 50;
б) \(5^{31} - 5^{29}\) делится на 100;
в) \(25^9 + 5^{17}\) делится на 30;
г) \(27^{10} - 9^{14}\) делится на 24;
д) \(12^{13} - 12^{12} + 12^{11}\) делится на 7 и на 19;
е) \(11^9 - 11^8 + 11^7\) делится на 3 и на 37.
№784 учебника 2013-2022 (стр. 160):
Найдите четыре последовательных натуральных числа, если известно, что произведение первых двух из этих чисел на 38 меньше произведения двух следующих.
№784 учебника 2023-2025 (стр. 161):
Вспомните:
№784 учебника 2013-2022 (стр. 160):
№784 учебника 2023-2025 (стр. 161):
а) \( 7^{16} + 7^{14} = 7^{14}\bigl(7^2 + 1\bigr) =\)
\(=7^{14}\cdot(49 + 1) = 7^{14}\cdot50 \) - выражение содержит множитель 50, значит, делится на 50.
б) \( 5^{31} - 5^{29} = 5^{29}\bigl(5^2 - 1\bigr) =\)
\(=5^{29}\cdot(25 - 1) = 5^{29}\cdot24 =\)
\(=(5^2\cdot5^{27})\cdot(4\cdot6) =\)
\(=(25\cdot4)\cdot(5^{27}\cdot6)=\)
\(=100\cdot(5^{27}\cdot6) \) - выражение содержит множитель 100, значит, делится на 100.
в) \( 25^9 + 5^{17} = (5^2)^9 + 5^{17} =\)
\(=5^{18} + 5^{17} = 5^{17}(5 + 1) =\)
\(=5^{17}\cdot6=5^{16}\cdot5\cdot6=\)
\(=5^{16}\cdot30\) - выражение содержит множитель 30, значит, делится на 30.
г) \( 27^{10} - 9^{14} = (3^3)^{10} - (3^2)^{14} =\)
\(= 3^{30} - 3^{28} = 3^{28}(3^2 - 1) =\)
\(=3^{28}(9-1)=3^{28}\cdot8 = \)
\(=3^{27}\cdot3\cdot8 =3^{27}\cdot24\) - выражение содержит множитель 24, значит, делится на 24.
д) \( 12^{13} - 12^{12} + 12^{11} =\)
\(=12^{11}\bigl(12^2 - 12 + 1\bigr) =\)
\(=12^{11}\,(144 - 12 + 1) = \)
\(=12^{11}\cdot133 =12^{11}\cdot7\cdot19\) - выражение содержит множители 7 и 19, значит, делится и на 7, и на 19.
е) \( 11^9 - 11^8 + 11^7 =\)
\(=11^7\bigl(11^2 - 11 + 1\bigr) =\)
\(=11^7\,(121 - 11 + 1) =\)
\(=11^7\cdot111 = 11^7\cdot3\cdot37\) - выражение содержит множители 3 и 37, значит, делится на 3 и на 37.
Пояснения:
1. Вынос общего множителя. При доказательствах делимости, используя распределительное свойство умножения, часто выносят за скобку наименьшую степень числа, общую для всех слагаемых, чтобы получить произведение. При этом учитываем свойство степеней:
\(а^n + a^m=a^{m+n}\).
2. Разложение на множители. После выноса общей степени в скобке остаётся выражение, которое раскладывают на простые множители (например, \(50=2\cdot5^2\), \(133=7\cdot19\), \(111=3\cdot37\)).
3. Критерии делимости. Произведение делится на какое-либо число, если это число является одним из множителей.
№784 учебника 2013-2022 (стр. 160):
Пусть \(x,\;x+1,\;x+2,\;x+3\) - четыре последовательных натуральных числа.
\(x(x+1)+38=(x+2)(x+3)\)
\(x^2+x+38 = x^2+5x+6\)
\(\cancel{x^2}+x-\cancel{x^2}-5х = 6 - 38\)
\(-4x = -32\)
\(x = \frac{32}{4}\)
\(x = 8\)
Ответ: искомые числа \((8,\;9,\;10,\;11)\).
Пояснения:
1. Задали четыре последовательных числа через одну переменную \(x\), что упрощает запись.
2. Составили уравнение по условию «произведение первых двух на 38 меньше произведения двух следующих ».
3. Скобки слева раскрыли, умножив одночлен на многочлен (распределительное свойство):
\(a(b+c)=ab+ac\).
Скобки справа раскрыли, умножив многочлен на многочлен:
\((a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd\).
4. Слагаемые с переменной собрали в левой части уравнения, без переменной - в правой. Упростили левую и правую части уравнения, получили уравнение \(32 = 4x\), откуда \(x = 8\), значит, три следующих числа \(9,10,11\).
Вернуться к содержанию учебника