Упражнение 928 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(a^3b^3 - 1 = (ab)^3 - 1^3 =\)

\(=(ab - 1)\bigl((ab)^2 + ab + 1\bigr)=\)

\(=(ab - 1)\bigl(a^2b^2 + ab + 1\bigr)=\)

б) \(1 + x^3y^3 = 1^3 + (xy)^3 =\)

\(=(1 + xy)\bigl(1^2 - xy + (xy)^2\bigr)=\)

\(=(1 + xy)\bigl(1 - xy + x^2y^2\bigr)\).

в) \(8 - a^3c^3 = 2^3 - (ac)^3 =\)

\(=(2 - ac)\bigl(2^2 + 2\,ac + (ac)^2\bigr) =\)

\(=(2 - ac)\bigl(4 + 2ac + a^2c^2\bigr)\).

г) \(m^3n^3 + 27 = (mn)^3 + 3^3 = \)

\(=(mn + 3)\bigl((mn)^2 - 3\,mn + 3^2\bigr) = \)

\(=(mn + 3)\bigl(m^2n^2 - 3mn + 9\bigr)\).

д) \(x^6y^3 - c^3 = (x^2y)^3 - c^3 =\)

\(=(x^2y - c)\bigl((x^2y)^2 + x^2y\,c + c^2\bigr) =\)

\(=(x^2y - c)\bigl(x^4y^2 + x^2yc + c^2\bigr)\).

е) \(a^3 - m^3n^9 = a^3 - (mn^3)^3 =\)

\(=(a - mn^3)\bigl(a^2 + a\,mn^3 + (mn^3)^2\bigr) =\)

\(=(a - mn^3)\bigl(a^2 + amn^3 + m^2n^6\bigr)\).

Пояснения:

Использованные формулы:

— Сумма кубов:

\(\;a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\).

— Разность кубов:

\(\;a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\).

При работе с формулами учитывали свойство степени:

\(a^nb^n=(ab)^n\);

\((a^m)^n = a^{m\cdot{n}}\).

а) \((y - 3)(y^2 + 9)(y + 3) - (2y^2 - y)^2 - 19=\)

\(=  (y^2 - 9)(y^2 + 9) -((2y^2)^2-2\cdot2y^2\cdot{y} + y^2) - 19 =\)

\(= y^4 - 81 - (4y^4 - 4y^3 + y^2) - 19=\)

\(= y^4 - 81 - 4y^4 + 4y^3 - y^2 - 19=\)

\( = -3y^4 + 4y^3 - y^2 - 100. \)

б) \((1 - a)(1 - a^2) + (1 + a)(1 + a^2) - 2a(1 + a)(a - 1)=\)

\(= 1 - a^2 - a + a^3 + (1 + a^2 + a + a^3) -2a(a^2 - 1)=\)

\(= 1 - \cancel{a^2} - \cancel{a} + \cancel{a^3} + 1 + \cancel{a^2} + \cancel{a} + \cancel{a^3} - \cancel{2a^3} + 2a=\)

\(=2a + 2.\)

Пояснения:

Использованные правила и формулы:

1) \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \) - разность квадратов двух выражений.

2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.

3) Умножение одночлена на многочлен:

\(a(b + c) = ab + ac\).

4) Умножение многочлена на многочлен: каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго многочлена:

\((a+b)(c+d)=ac + ad + bc + bd\).

5) Свойства степени:

\((ab)^n=a^nb^n;\)

\((a^m)^n=a^{m\cdot{n}}.\)

6) Вычитание многочленов: у многочлена, который вычитают, при раскрытии скобок меняют все знаки на противоположные.

7) Приведение подобных слагаемых:

\(ax + bx = (a + b)x\).

В каждом выражении раскрыли скобки, учитывая правила, указанные выше, привели подобные слагаемые (вычеркнули те слагаемые, сумма которых равна нулю) и получили упрощенное выражение.