Упражнение 1062 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Точка \(A(6; 1):\)

\[ x - 2y = 6 - 2 \cdot 1 = 6 - 2 = 4 \Rightarrow \text{принадлежит} \]

Точка \(B(-6; -5):\)

\[ -6 - 2 \cdot (-5) = -6 + 10 = 4 \Rightarrow \text{принадлежит} \]

Точка \(C(0; -2):\)

\[ 0 - 2 \cdot (-2) = 0 + 4 = 4 \Rightarrow \text{принадлежит} \]

Точка \(D(-1; 3):\)

\[ -1 - 2 \cdot 3 = -1 - 6 = -7 \neq 4 \Rightarrow \text{не принадлежит} \]

Ответ: Графику уравнения \(x - 2y = 4\) принадлежат точки: \(A, B, C.\)

Пояснения:

Чтобы проверить принадлежность точки графику уравнения, подставляем координаты точки в уравнение. Если уравнение выполняется (левая часть равна правой), точка принадлежит графику.

Проверка показала, что только точка \(D\) не удовлетворяет уравнению, а остальные три точки \((A, B, C)\) принадлежат графику.

а) \( \begin{cases} 4y - x = 12, \\ 3y + x = -3; \end{cases}\)

\( \begin{cases} 4y = 12+x, \\ 3y = -3-x; \end{cases}\)

\( \begin{cases} y = \tfrac{1}{4}x + 3, \\ y = -\tfrac{1}{3}x -1 \end{cases}\)

Угловые коэффициенты прямых различны, значит, система имеет единственное решение.

б)  \( \begin{cases} y - 3x = 0, \\ 3y - x = 6; \end{cases}\)
\( \begin{cases} y = 3x, \\ 3y = 6+x; \end{cases}\)

\( \begin{cases} y = 3x, \\ y = \frac{1}{3}x + 2. \end{cases}\)

Угловые коэффициенты прямых различны, значит, система имеет единственное решение.

в) \( \begin{cases} 1{,}5x = 1, \\ -3x + 2y = -2; \end{cases}\)

\( \begin{cases} x = \frac{1}{1,5}, \\  2y = -2+3x; \end{cases}\)

\( \begin{cases} x = \frac{2}{3}\quad(\text{вертикальная прямая}), \\  y = \tfrac{3}{2}x -1. \end{cases}\)

Одна прямая вертикальная, другая — не вертикальная → пересекаются в одной точке → единственное решение.

г) \( \begin{cases} x + 2y = 3, \\ y = -0{,}5x; \end{cases}\)

\( \begin{cases}2y = 3-x, \\ y = -0{,}5x; \end{cases}\)

\( \begin{cases}y = -0,5x+1,5, \\ y = -0{,}5x; \end{cases}\)

Прямые, которые являются графиками данных линейных функций параллельны, значит, они не пересекаются и данная система не имеет решений.

д) \( \begin{cases} 2x = 11 - 2y, \\ 6y = 22 - 4x; \end{cases}\)

\( \begin{cases} 2y=-2x + 11, \\ y = \frac{22 - 4x}{6}; \end{cases}\)

\( \begin{cases} y = -x + 5,5, \\ y = -\tfrac{2}{3}x + 3\tfrac{2}{3}. \end{cases}\)

Угловые коэффициенты прямых различны, значит, система имеет единственное решение.

е) \( \begin{cases} -x + 2y = 8, \\ x + 4y = 10; \end{cases} \)

\( \begin{cases}2y = 8 +x, \\ 4y = 10-x; \end{cases} \)

\( \begin{cases}y = 0,5x+4, \\ 4y = -0,25x+2,5. \end{cases} \)

Угловые коэффициенты прямых различны, значит, система имеет единственное решение.

Пояснения:

• Если прямые имеют разные угловые коэффициенты \(k_1 \neq k_2\), они пересекаются ровно в одной точке → система имеет единственное решение.

• Если \(k_1 = k_2\) и \(b_1 = b_2\), прямые совпадают → бесконечно много решений.

• Если \(k_1 = k_2\) и \(b_1 \neq b_2\), прямые параллельны → решений нет.