Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№1063 учебника 2023-2025 (стр. 208):
Докажите, что графики уравнений \(3x - y = -5\), \(-x + 10y = 21\), \(11x + 21y = 31\) проходят через точку \(P(-1; 2)\).
№1063 учебника 2013-2022 (стр. 210):
(Для работы в парах.) Имеет ли решения система уравнений и сколько:
а) \( \begin{cases} x = 6y - 1, \\ 2x - 10y = 3; \end{cases}\)
б) \( \begin{cases} 5x + y = 4, \\ x + y - 6 = 0; \end{cases}\)
в) \( \begin{cases} 12x - 3y = 5, \\ 6y - 24x = -10? \end{cases} \)
1) Обсудите друг с другом, от чего зависит ответ на вопрос задачи.
2) Выполните совместно задание а).
3) Распределите, кто выполняет задание б), а кто - задание в), и выполните их.
4) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий и исправьте ошибки, если они допущены.
№1063 учебника 2023-2025 (стр. 208):
№1063 учебника 2013-2022 (стр. 210):
№1063 учебника 2023-2025 (стр. 208):
\(3x - y = -5:\)
При \(x = -1\), \(y = 2\):
\( 3 \cdot (-1) - 2 =-5;\)
\(-3 - 2 = -5;\)
\(-5=-5\) - верно, \(\Rightarrow\) график проходит через данную точку.
\(-x + 10y = 21:\)
При \(x = -1\), \(y = 2\):
\( -(-1) + 10 \cdot 2 =21;\)
\(1 + 20 = 21;\)
\(21=21\) - верно, \(\Rightarrow\) график проходит через данную точку.
\(11x + 21y = 31:\)
При \(x = -1\), \(y = 2\):
\( 11 \cdot (-1) + 21 \cdot 2 =31;\)
\(-11 + 42 = 31;\)
\(31=31\) - верно, \(\Rightarrow\) график проходит через данную точку.
Ответ: Точка \(P(-1; 2)\) принадлежит всем трём графикам, так как при подстановке её координат каждое уравнение обращается в верное числовое равенство.
Пояснения:
Чтобы доказать, что точка лежит на графике уравнения, нужно подставить координаты точки в уравнение. Если равенство выполняется, точка действительно принадлежит графику.
Во всех трёх случаях после подстановки координат \(x = -1\), \(y = 2\), получаем верные равенства. Значит, графики всех трёх уравнений проходят через точку \(P(-1; 2)\).
№1063 учебника 2013-2022 (стр. 210):
а) \( \begin{cases} x = 6y - 1, \\ 2x - 10y = 3; \end{cases}\)
\( \begin{cases} 6y=x+1, \\ 10y=2x -3; \end{cases}\)
\( \begin{cases} 6y=\frac16x+\frac16, \\ y=0,2x -0,3. \end{cases}\)
Угловые коэффициенты прямых различны, значит, система имеет единственное решение.
б) \( \begin{cases} 5x + y = 4, \\ x + y - 6 = 0; \end{cases}\)
\( \begin{cases} y = 4-5x, \\ y = -x+6. \end{cases}\)
Угловые коэффициенты прямых различны, значит, система имеет единственное решение.
в) \( \begin{cases} 12x - 3y = 5, \\ 6y - 24x = -10; \end{cases} \)
\( \begin{cases} 3y= 12x -5, \\ 6y = 24x-10; \end{cases} \)
\( \begin{cases} y= 4x -1\frac23, \\ y = 4x-1\frac23. \end{cases} \)
Уравнения совпадают, значит, система имеет бесконечно много решений.
Пояснения:
Для двух прямых, заданных в виде \(y = k_1x + b_1\) и \(y = k_2x + b_2\), справедливо:
– если \(k_1 \neq k_2\), прямые пересекаются в одной точке → система имеет единственное решение;
– если \(k_1 = k_2\) и \(b_1 = b_2\), прямые совпадают → бесконечно много решений;
– если \(k_1 = k_2\) и \(b_1 \neq b_2\), прямые параллельны → решений нет.
Вернуться к содержанию учебника