Упражнение 1141 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( (x^3 - y^3)^2 + 2x^3y^3 =\)

\(=(x^2 + y^2)\bigl(x^4 + y^4 - x^2y^2\bigr). \)

Левую часть:

\( (x^3 - y^3)^2 + 2x^3y^3 = \)

\(=(x^3)^2 - 2x^3y^3 + (y^3)^2 + 2x^3y^3 = \)

\(=x^6 - \cancel{2x^3y^3} + y^6 + \cancel{2x^3y^3} = \)

\(=x^6 + y^6. \)

Правая часть:

\( (x^2 + y^2)(x^4 + y^4 - x^2y^2) =\)

\( = x^6 + \cancel{x^2y^4} - \cancel{x^4y^2} + \cancel{x^4y^2} + y^6 - \cancel{x^2y^4} =\)

\(=x^6 + y^6. \)

Тождество доказано.

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) Раскрытие квадрата разности:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

2) Приведение подобных членов при сложении:

\(ax + bx = (a+b)x\).

3) Умножение многочлена на многочлен:

\((a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\).

4) Свойства степени:

\((a^m)^n = a^{mn};\)

\(a^ma^n = a^{m+n}.\)

5) После упрощения обе части свелись к одному и тому же выражению

\(x^6 + y^6\).

Это говорит о том, что тождество доказано.

а) \(x + y = 11\)

\(y = 11 - x\)

Если \(x = 1\), то \(y = 11 - 1 = 10\).

Если \(x = 2\), то \(y = 11 - 2 = 9\).

Если \(x = 3\), то \(y = 11 - 3 = 8\).

Если \(x = 4\), то \(y = 11 - 4 = 7\).

Если \(x = 5\), то \(y = 11 - 5 = 6\).

Если \(x = 6\), то \(y = 11 - 6 = 5\).

Если \(x = 7\), то \(y = 11 - 7 = 4\).

Если \(x = 8\), то \(y = 11 - 8 = 3\).

Если \(x = 9\), то \(y = 11 - 9 = 2\).

Если \(x = 10\), то \(y = 11 - 10 = 1\).

Ответ: \((1;10)\), \((2;9)\), \((3;8)\), \((4;7)\), \((5;6)\), \((6;5)\), \((7;4)\), \((8;3)\), \((9;2)\), \((10;1)\).

б) \(x y = 18\)

\(y = \frac{18}{x}\)

Делители \(18\):

\(1,2,3,6,9,18\).

Если \(x=1\), то \(y = \frac{18}{1} = 18\).

Если \(x=2\), то \(y = \frac{18}{2} = 9\).

Если \(x=3\), то \(y = \frac{18}{3} = 6\).

Если \(x=6\), то \(y = \frac{18}{6} = 3\).

Если \(x=9\), то \(y = \frac{18}{9} = 2\).

Если \(x=18\), то \(y = \frac{18}{18} = 1\).

Ответ: \((1;18)\), \((2;9)\), \((3;6)\), \((6;3)\), \((9;2)\), \((18;1)\).

Пояснения:

– Натуральные числа начинаются с 1.

– В пункте а) для каждого натурального \(x\) от 1 до 10 искали \(y=11-x\).

– В пункте б) нашли все натуральные делители 18, затем для каждого \(x\) вычислили \(y=\frac{18}{x}\).